INTERNET শব্দের সব অক্ষর থেকে প্রতিবার 4টি অক্ষর নিয়ে কত ভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:

আমাদের কাছে শব্দটি হলো: INTERNET

অক্ষরসমূহ: I, N, T, E, R, N, E, T

অক্ষরসমূহের মধ্যে প্রতিলিপি অক্ষর:

• N দুইবার
• E দুইবার
• T দুইবার

মোট অক্ষর সংখ্যা = 8

প্রতিবার 4টি অক্ষর নির্বাচন এবং সাজানোর জন্য, প্রথমে দেখা যাক কেবল অক্ষরগুলো কি কি:

• অক্ষরগুলো: I, N, T, E, R, N, E, T

অক্ষরগুলো থেকে 4টি অক্ষর বাছাই করতে হলে, বিভিন্ন পরিস্থিতি ধরা যাক:

ধাপ ১: অক্ষর নির্বাচন

অক্ষরসমূহের মধ্যে বিভিন্ন অক্ষর এবং তাদের সংখ্যা:

ধাপ ২: বিভিন্ন পরিস্থিতি অনুযায়ী নির্বাচন

অক্ষর নির্বাচন ও সাজানোর সংখ্যা গণনা

অবস্থাগুলি:

1. চারটি ভিন্ন অক্ষর নির্বাচন:

অক্ষরসমূহ: I, R, N, E, T

সর্বমোট অক্ষর = 5

চালানো: 5 থেকে 4টি অক্ষর নির্বাচন

সংখ্যা: \(\binom{5}{4} = 5\)

প্রতিটি নির্বাচন সাজানো যাবে \(4!\) উপায়ে

অর্থাৎ, মোট সাজানোর সংখ্যা: \(5 \times 4! = 5 \times 24 = 120\)

2. তিনটি অক্ষর (একটি অক্ষর দ্বিগুণ, অন্য দুটি আলাদা):

যেমন: N, N, E, T বা E, E, R, T ইত্যাদি

অক্ষরগুলো: N, N, E, T; E, E, R, T; T, T, N, E ইত্যাদি

অক্ষর নির্বাচন করতে হবে যেখানে একটি অক্ষর 2বার থাকবে এবং অন্য 2টি আলাদা অক্ষর থাকবে।

অক্ষরসমূহের জন্য: N, E, T (যে 3টি অক্ষর দ্বিগুণ হতে পারে)

প্রতিটি অক্ষর দ্বিগুণ হলে, নির্বাচন করতে হবে 3 অক্ষর, তাদের মধ্যে 1টি দ্বিগুণ থাকবে।

অক্ষর নির্বাচন করে 3টি অক্ষর পাওয়া যাবে, যেখানে একটি অক্ষর দুইবার থাকবে। উদাহরণস্বরূপ:

• নির্বাচন: N, N, E, T
• অথবা E, E, R, T
• অথবা T, T, N, E

অক্ষর নির্বাচন: 3টি অক্ষর (N, E, T), যেখানে থেকে 1টি অক্ষর দ্বিগুণ হবে।

অর্থাৎ, দ্বিগুণ অক্ষর নির্বাচনের সংখ্যা: 3 (N, E, T)

প্রতিটি such নির্বাচন হলে, সাজানোর উপায় গণনা করব:

• যখন দ্বিগুণ অক্ষর রয়েছে, তখন সাজানোর সংখ্যা: \(\frac{4!}{2!}\)

অর্থাৎ, মোট সংখ্যা:

\(3 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times \frac{24}{2} = 3 \times 12 = 36\)

3. দুইটি দ্বিগুণ অক্ষরসহ 4 অক্ষর নির্বাচন:

যেমন: N, N, E, E

এখানে 2টি দ্বিগুণ অক্ষর (N, E) থাকলে, সাজানোর উপায়:

\(\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6\)

অতএব, এই পরিস্থিতির সংখ্যা: 1 (নির্বাচন) \× 6 (সাজানোর উপায়) = 6

সর্বমোট সংখ্যা:

সকল পরিস্থিতির সংখ্যা যোগ করলে, পাই:

Total = 120 + 36 + 6 = 162

উপসংহার:

অতএব, INTERNET শব্দের সব অক্ষর থেকে 4টি অক্ষর নিয়ে বিভিন্ন ভাবে সাজানো যাবে মোট 162 উপায়ে।