রেখা তিনটি সমবিন্দু হওয়ার শর্ত:

দেওয়া আছে, রেখা তিনটি হলো:

1. ax + by + c = 0
2. bx + cy + a = 0
3. cx + ay + b = 0

এই রেখা তিনটি সমবিন্দু হওয়ার শর্ত হলো, এদের দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হবে। অর্থাৎ,

\( \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0 \)

নির্ণায়কের মান বের করি: \(a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0\) \(abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0\) \(3abc - a^3 - b^3 - c^3 = 0\) \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0\)

আমরা জানি, \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\)

সুতরাং, \((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0\)

অতএব, হয় \(a + b + c = 0\) অথবা \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0\)

যদি \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0\) হয়, তবে উভয় দিকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

\(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0\)

\((a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0\)

\((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0\)

যেহেতু তিনটি বর্গের যোগফল শূন্য, তাই প্রত্যেকটি বর্গকে অবশ্যই শূন্য হতে হবে। সুতরাং, \(a - b = 0\), \(b - c = 0\), \(c - a = 0\) অর্থাৎ \(a = b = c\)

সুতরাং, রেখা তিনটি সমবিন্দু হওয়ার শর্ত হলো: \(a + b + c = 0\) অথবা \(a = b = c\) 🥳