\( r = \sin \theta \) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ কত হবে?
DUUnit-Aউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রবৃত্তবৃত্তের পোলার সমীকরণ (Topic Practice)DU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
\( (0,\frac{1}{2}),\frac{1}{2} \)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( r = \sin \theta \) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ কত হবে?
উত্তর: \( \left(0, \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2} \)
সমাধান:
প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটিকে Cartesian (x, y) সমীকরণে রূপান্তর করি।
### ধাপ ১: রেডিয়ান সমীকরণ থেকে Cartesian সমীকরণে রূপান্তর
আমরা জানি:
\[
x = r \cos \theta \quad \text{ও} \quad y = r \sin \theta
\]
এবং,
\[
r = \sin \theta
\]
তাহলে,
\[
r = y / r \quad \Rightarrow \quad r^2 = y
\]
অর্থাৎ,
\[
r^2 = x^2 + y^2
\]
অতএব,
\[
x^2 + y^2 = y
\]
### ধাপ ২: বর্গমূল সমীকরণে রূপান্তর
উপরে সমীকরণটি লিখি:
\[
x^2 + y^2 = y
\]
এটি সম্পূর্ণ করে লিখি:
\[
x^2 + y^2 - y = 0
\]
প্রতিটি দিকে \( y \) এর জন্য সম্পূর্ণ করে:
\[
x^2 + \left( y^2 - y \right) = 0
\]
\[
x^2 + \left( y^2 - y + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}
\]
এখানে, \( y^2 - y + \frac{1}{4} = ( y - \frac{1}{2} )^2 \)
অতএব,
\[
x^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]
এটি একটি কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ সহ বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - 0)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2
\]
### ফলাফল:
**কেন্দ্র:** \( (0, \frac{1}{2}) \)
**ব্যাসার্ধ:** \( \frac{1}{2} \)