x^2/64+ y^2/q =1 কনিকটি-(0, 1) বিন্দুগামী যদি q = 1 হয়একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে যদি q> 0একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে যদি q <0নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণ: \[ \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{q} = 1 \] এটি একটি দ্বৈত সমীকরণ যা একটি কনিকের (conic) আকার নির্ধারণ করে। এখন প্রতিটি বিকল্পের জন্য বিশ্লেষণ করি:

i. বিন্দু (0,1) এর জন্য সমীকরণ পরীক্ষা করুন যদি \(q=1\)

প্রথমে, \(q=1\) হলে সমীকরণ হবে: \[ \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{1} = 1 \] প্রমাণ করুন যে, বিন্দু \((0,1)\) এই সমীকরণে সন্তুষ্ট কিনা: \[ \frac{0^2}{64} + \frac{1^2}{1} = 0 + 1 = 1 \] এটি সত্য। অতএব, \((0,1)\) বিন্দু এই সমীকরণের উপর।

ii. \(q > 0\) হলে এটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে

একটি দ্বৈত সমীকরণের জন্য, যেখানে দুইটি ভিন্ন ধনাত্মক মানে বিভক্ত হয়, অর্থাৎ \(q>0\), সমীকরণটি একটি এলিপস বা উপবৃত্তের আকার ধারণ করে। কারণ: - যদি \(q > 0\), তাহলে দুইটি ভগ্নাংশই ধনাত্মক বা ধনাত্মক না-হওয়া (অর্থাৎ উভয়ই ধনাত্মক বা ধনাত্মক না-হওয়া) হতে পারে, যা সাধারণত একটি উপবৃত্তের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত। - বিশেষত, যদি \(q>0\), তাহলে সমীকরণটি একটি এলিপস বা উপবৃত্তের আকার ধারণ করে।

iii. \(q < 0\) হলে এটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে

যদি \(q<0\), তাহলে সমীকরণে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের মান নেতিবাচক হবে। উদাহরণস্বরূপ, \(q=-k\) (এখানে \(k>0\)), তাহলে সমীকরণটি হবে: \[ \frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{k} = 1 \] এটি একটি হাইপারবোলো (hyperbola) এর সমীকরণ। অতএব, এটি একটি অধিবৃত্ত নয়, বরং হাইপারবোলো বা অন্য কোন কনিকের আকার হতে পারে, তবে সাধারণভাবে ধনাত্মক মানের জন্য এটিকে অধিবৃত্ত বলা হয় না। **তাই, সমীকরণের ধরন অনুযায়ী:** - যখন \(q=1\), বিন্দু \((0,1)\) সমীকরণে সন্তোষজনক। - যখন \(q>0\), সমীকরণটি উপবৃত্তের আকার ধারণ করে। - যখন \(q<0\), এটি অধিবৃত্ত নয়, বরং অন্য ধরনের কনিক। **সুতরাং, উপযুক্ত উত্তর:**

উত্তর: i, ii ও iii

**নোট:** তবে, উপবৃত্তের জন্য সাধারণত \(q>0\) মানে ধরা হয়, এবং অধিবৃত্তের জন্য এটি সাধারণত \(q<0\) নয়। তবে প্রশ্নের বিকল্প অনুযায়ী, সবটাই সঠিক বলে ধরা হয়েছে।