\( m \) ভরের একটি উপগ্রহ \( R \) ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে \( M \) ভরের একটি গ্রহকে প্রদক্ষিণ করে। একটি পূর্ণ ঘুর্ননের জন্য প্রয়োজনীয় সময় কোনটির সমানুপাতিক?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে উপগ্রহের বৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য পূর্ণ ঘুর্ননের সময় নির্ধারণ করতে বলা হয়েছে। এর জন্য কক্ষপথের ব্যাসার্ধ এবং গ্রহের ভরের সাথে সম্বন্ধযুক্ত সূত্র ব্যবহার করতে হবে। গ্রাভিটেশনাল সূত্র অনুসারে, কক্ষপথের ঘূর্ণন সময় \( T \propto R^{3/2} \)। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( M \): ভুল, এটি সঠিক নয়, কারণ কক্ষপথের সময় শুধুমাত্র গ্রহের ভরের উপর নির্ভরশীল নয়। B. \( \sqrt{m} \): ভুল, এটি কক্ষপথের সময়ের সাথে সম্পর্কিত নয়। C. \( R^{3/2} \): সঠিক, এটি কক্ষপথের সময়ের সঠিক সম্বন্ধ। D. \( R^2 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: এই প্রশ্নে গ্রাভিটেশনাল সূত্র ও কক্ষপথের সময় সম্পর্কিত সমীকরণ ব্যবহার করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

ব্যাখ্যা

একটি উপগ্রহের ঘূর্ণনকালের বর্গ তার কক্ষপথের ব্যাসার্ধের ঘনের সাথে সমানুপাতিক। এটি কেপলারের তৃতীয় সূত্র থেকে আসে। নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

কেপলারের তৃতীয় সূত্র

কেপলারের তৃতীয় সূত্রানুসারে, কোনো গ্রহের আবর্তনকালের বর্গ (T²) তার কক্ষপথের অর্ধ-প্রধান অক্ষের ঘন (a³) এর সমানুপাতিক। গাণিতিকভাবে:

\( T^2 \propto a^3 \)

যেখানে:

• \( T \) = পর্যায়কাল (period)
• \( a \) = অর্ধ-প্রধান অক্ষ (semi-major axis)

বৃত্তাকার কক্ষপথের ক্ষেত্রে, অর্ধ-প্রধান অক্ষ \( R \) (ব্যাসার্ধ)-এর সমান হয়। সুতরাং, \( a = R \)।

নির্ণয়

তাহলে, কেপলারের সূত্রটি দাঁড়ায়:

\( T^2 \propto R^3 \)

সুতরাং, পর্যায়কাল \( T \) হবে:

\( T \propto \sqrt{R^3} \)

\( T \propto R^{3/2} \)

উপসংহার

অতএব, একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের জন্য প্রয়োজনীয় সময় \( R^{3/2} \) এর সমানুপাতিক। 🎉

```