\( y^2 - 3y - 2x + 8 = 0 \) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ হলে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 - 3y - 2x + 8 = 0 \) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ হলে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে সমীকরণটি পরাবৃত্তের সাধারণ রূপে রূপান্তর করি। সমীকরণ: \[ y^2 - 3y - 2x + 8 = 0 \] অর্থাৎ, \[ y^2 - 3y = 2x - 8 \] দুটি পাশে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি। প্রথমে \( y^2 - 3y \) এর জন্য: \[ y^2 - 3y = y^2 - 3y + \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{-3}{2}\right)^2 \] \[ = \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \] অতএব, \[ \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} = 2x - 8 \] উভয় পাশে যোগ করি \(\frac{9}{4}\): \[ \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2x - 8 + \frac{9}{4} \] প্রথমে সমান করতে সব কিছুকে একত্র করি: \[ 2x - 8 = 2x - \frac{32}{4} \] অতএব, \[ \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2x - \frac{32}{4} + \frac{9}{4} = 2x - \frac{23}{4} \] এখন, সমীকরণটি: \[ \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2x - \frac{23}{4} \] অথবা, \[ \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \left( x - \frac{23}{8} \right) \] এটি একটি পরাবৃত্তের মানদণ্ডে রূপান্তর হয়েছে, যেখানে: \[ \left( y - k \right)^2 = 4p (x - h) \] এখানে, \[ k = \frac{3}{2}, \quad 4p = 2 \Rightarrow p = \frac{1}{2}, \quad h = \frac{23}{8} \] পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (vertex) এর জন্য: \[ x = h = \frac{23}{8} \] \[ y = k = \frac{3}{2} \] অতএব, শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক: \[ \boxed{\left( \frac{23}{8}, \frac{3}{2} \right)} \]