যদি  A[(cos2theta,-sin2theta),(sin2theta, cos2theta)] এবং [A²]=1 হয়, তবে θ এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( A = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} \) এবং \( A^2 = I \) যেখানে \( I \) হলো একক ম্যাট্রিক্স। \( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} \) \( = \begin{bmatrix} \cos^2 2\theta - \sin^2 2\theta & -\cos 2\theta \sin 2\theta - \sin 2\theta \cos 2\theta \\ \sin 2\theta \cos 2\theta + \cos 2\theta \sin 2\theta & -\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta \end{bmatrix} \) \( = \begin{bmatrix} \cos 4\theta & -2\sin 2\theta \cos 2\theta \\ 2\sin 2\theta \cos 2\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix} \) \( = \begin{bmatrix} \cos 4\theta & -\sin 4\theta \\ \sin 4\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix} \) যেহেতু \( A^2 = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \), তাই \( \begin{bmatrix} \cos 4\theta & -\sin 4\theta \\ \sin 4\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) তুলনা করে পাই, \( \cos 4\theta = 1 \) এবং \( \sin 4\theta = 0 \) \( \cos 4\theta = 1 \) হলে, \( 4\theta = 2n\pi \), যেখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা। \( \theta = \frac{n\pi}{2} \) যদি \( n = 0 \) হয়, তবে \( \theta = 0 \) যদি \( n = 1 \) হয়, তবে \( \theta = \frac{\pi}{2} \) যদি \( n = 2 \) হয়, তবে \( \theta = \pi \) যদি \( n = 3 \) হয়, তবে \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) এখন, \( \sin 4\theta = 0 \) এর জন্য, \( 4\theta = m\pi \), যেখানে \( m \) একটি পূর্ণসংখ্যা। \( \theta = \frac{m\pi}{4} \) উভয় শর্ত পূরণের জন্য, \( \theta = \frac{n\pi}{2} \) নিতে হবে। যেখানে \( n = 0, 1, 2, 3, ... \) সুতরাং, \( \theta \) এর মান \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, ... \) হতে পারে। এখন অপশন অনুযায়ী উত্তর দিতে হবে। যেহেতু এখানে কোনো অপশন নেই, তাই সঠিক উত্তর উপরের মানগুলোর মধ্যে যেকোনোটি হতে পারে। 🤷