int tan^-1xdx=? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int \tan^{-1} x \, dx = ?\) উত্তর: \(\displaystyle x \tan^{-1} x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C\) সমাধান: ধরা যাক, \[ I = \int \tan^{-1} x \, dx \] প্রথমে, আমরা এই ইন্টিগ্রেশনটি আউটসাইড করে নিতে পারি, যেখানে \(\tan^{-1} x\) এর জন্য ইন্টিগ্রেশন সাবজেক্ট। এখানে, **ইউজ করুন** ইন্টিগ্রেশনের অংশবিভাগের সূত্র: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] এখানে, \(u = \tan^{-1} x\) এবং \(dv = dx\) তাহলে, \[ du = \frac{1}{1 + x^2} dx \] এবং, \[ v = x \] এখন, \[ I = x \tan^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{1 + x^2} dx \] পরবর্তী, \[ I = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx \] অতএব, এখন আসুন \(\int \frac{x}{1 + x^2} dx\) সমাধান করি। এটি সহজ, কারণ: \[ \frac{d}{dx} (1 + x^2) = 2x \] অর্থাৎ, \[ \int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln |1 + x^2| + C \] সুতরাং, \[ I = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C \] অতএব, \[ \boxed{ \int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C } \]