\( x^2 - 7x + 12 = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) হলে \( \alpha+\beta \) এবং \( \alpha \beta \) মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি কী?

সমাধান:

প্রদত্ত মূল সমীকরণ: \( x^2 - 7x + 12 = 0 \)

এখানে, মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( \beta \)।

আমাদের জানা আছে, যদি সমীকরণটি হয় \( ax^2 + bx + c = 0 \), তবে:

• মূলদ্বয় \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• মূলদ্বয় \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

এখানে, \( a = 1 \), \( b = -7 \), এবং \( c = 12 \)।

অতএব,

• \( \alpha + \beta = -\frac{-7}{1} = 7 \)
• \( \alpha \beta = \frac{12}{1} = 12 \)

নতুন সমীকরণের জন্য, মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( \beta \) এর যোগফল ও গুণফল ব্যবহার করে একটি সমীকরণ তৈরি করতে পারি, যেখানে মূলদ্বয় হবে \( \alpha \) ও \( \beta \)।

নতুন সমীকরণটি হবে, যেখানে মূলদ্বয় হলো \( \alpha \) ও \( \beta \):

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \)

অর্থাৎ,

\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)

তবে, প্রশ্নে উল্লেখ রয়েছে যে মূল সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) এর যোগফল \( \alpha + \beta \) ও গুণফল \( \alpha \beta \) ব্যবহার করে নতুন সমীকরণটি হলো:

নতুন সমীকরণের মূলদ্বয় হবে, \( \alpha + \beta = 7 \) এবং \( \alpha \beta = 12 \)।

সুতরাং, মূল সমীকরণটি তৈরি করি:

\( x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0 \)

এখানে, এটি হবে:

\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)

তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ রয়েছে, মূল সমীকরণটির জন্য নতুন সমীকরণটি কী? উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে \( x^2 - 19x + 84 = 0 \)।

নতুন সমীকরণের বিশ্লেষণ:

নতুন সমীকরণ: \( x^2 - 19x + 84 = 0 \)

মূলদ্বয় \( \gamma, \delta \) হলে,

• \( \gamma + \delta = 19 \)
• \( \gamma \delta = 84 \)

অর্থাৎ, এই সমীকরণের মূলদ্বয় মূল সমীকরণের মূলদ্বয় এর যোগফল ও গুণফল দ্বারা নির্ণয় করা হয়েছে।

সারসংক্ষেপ:

প্রথম মূল সমীকরণের মূলদ্বয়: \( \alpha + \beta = 7 \), \( \alpha \beta = 12 \)

নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়: \( \gamma + \delta = 19 \), \( \gamma \delta = 84 \)

অতএব, উত্তর হলো: \( x^2 - 19x + 84 = 0 \)