\( 2x^3-5x+3= 0 \) এর মূলগুলো \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে \( (\beta+\alpha)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta) \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( 2x^3 - 5x + 3 = 0 \) এর মূলগুলো হলো: \( \alpha, \beta, \gamma \) প্রথমে, সমীকরণের সাধারণ সমন্বয়গুলো নির্ণয় করি: \[ a = 2, \quad b = 0, \quad c = -5, \quad d = 3 \] সমীকরণের মূলগুলোর উপর ভিত্তি করে মূল সংক্রান্ত সমন্বয়গুলো হলো: \[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0 \] \[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2} \] \[ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{3}{2} \] আমাদের লক্ষ্য: \[ (\beta + \alpha)(\gamma + \alpha)(\alpha + \beta) \] প্রথমে এই এক্সপ্রেশনটি সহজ করি: \[ (\beta + \alpha)(\gamma + \alpha)(\alpha + \beta) \] নোট করুন যে: \[ \beta + \alpha = (\alpha + \beta) \] \[ \gamma + \alpha \] \[ \alpha + \beta \] তাহলে, এক্সপ্রেশনটি হলো: \[ (\alpha + \beta)(\alpha + \gamma)(\beta + \gamma) \] এটি মূলত: \[ (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) \] আমরা জানি: \[ (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) - \alpha \beta \gamma \] কারণ, এটি একটি পরিচিত সমীকরণ: \[ (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) - \alpha \beta \gamma \] এখন, উপরের মানগুলো জানি: \[ \alpha + \beta + \gamma = 0 \] \[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -\frac{5}{2} \] \[ \alpha \beta \gamma = -\frac{3}{2} \] অতএব: \[ (\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (0) \times \left(-\frac{5}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \] সুতরাং,

উত্তর: