নিম্নের লিনিয়ার প্রোগ্রামটির সমাধান কর: গরিষ্ঠকরণ কর Z=3x+4y শর্ত হচ্ছে x+y ≤ 7, 2x+y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0।

Another Explanation (5):

লিনিয়ার প্রোগ্রামটির সমাধান:

প্রশ্নে উল্লেখিত লক্ষ্য হল: Maximize \( Z = 3x + 4y \) শর্তসমূহ: \( x + y \leq 7 \) \( 2x + y \leq 20 \) \( x \geq 0 \) \( y \geq 0 \)

ধাপ ১: সীমা রেখাগুলির ইন্টারেকশন নির্ণয়

প্রথমে সীমা রেখাগুলির সমাধান করি: 1. \( x + y = 7 \) 2. \( 2x + y = 20 \) সমাধান করিঃ \[ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x + y = 20 \end{cases} \] বিয়োগ করি: \[ (2x + y) - (x + y) = 20 - 7 \Rightarrow x = 13 \] \( x = 13 \) রাখি প্রথম সমীকরণে: \[ 13 + y = 7 \Rightarrow y = -6 \] যেহেতু \( y \geq 0 \), এই বিন্দুটি বৈধ নয়। তাই, সীমা রেখাগুলির ইন্টারেকশন অবৈধ। এখন, সীমা রেখাগুলির উপর বিন্দুগুলি নির্ণয় করি যেখানে শর্তগুলো পূরণ হয়। ---

ধাপ ২: সীমা রেখাগুলির অক্ষরেখা বিন্দুগুলি নির্ণয়

**বিন্দু ১:** \( x = 0 \) \( y \leq 7 \) (কারণ \( x + y \leq 7 \)) \( 2(0) + y \leq 20 \Rightarrow y \leq 20 \) সর্বনিম্ন সীমা: \( y = 0 \) থেকে \( y = 7 \) বিন্দু: \( (0,0) \) ও \( (0,7) \) **বিন্দু ২:** \( y = 0 \) \( x \leq 7 \) (কারণ \( x + 0 \leq 7 \)) \( 2x + 0 \leq 20 \Rightarrow x \leq 10 \) সর্বনিম্ন সীমা: \( x = 0 \) থেকে \( x = 7 \) বিন্দু: \( (0,0) \) ও \( (7,0) \) **বিন্দু ৩:** সীমা রেখাগুলির ইন্টারেকশনের জন্য, \( x + y = 7 \) ও \( 2x + y = 20 \) - প্রথম রেখা: \( y = 7 - x \) - দ্বিতীয় রেখা: \( y = 20 - 2x \) সমান করে: \[ 7 - x = 20 - 2x \Rightarrow x = 13 \] তাহলে, \( y = 7 - 13 = -6 \), যা বৈধ নয়। অতএব, এই বিন্দুটি বৈধ নয়। ---

ধাপ ৩: সম্ভাব্য কোণে বিন্দুগুলি নির্ণয় ও মূল্যায়ন

বিন্দুগুলিঃ - \( (0,0) \) - \( (0,7) \) - \( (7,0) \) এখন, এই বিন্দুগুলিতে \( Z \) এর মান নির্ণয় করি: 1. \( (0,0) \): \[ Z = 3(0) + 4(0) = 0 \] 2. \( (0,7) \): \[ Z = 3(0) + 4(7) = 28 \] 3. \( (7,0) \): \[ Z = 3(7) + 4(0) = 21 \] অতএব, সর্বোচ্চ মান \( Z = 28 \) ঘটে বিন্দু \( (0,7) \) এ। ---

উপসংহার:

অতএব, লক্ষ্য ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \( Z = 28 \), যা হয় at \( (x, y) = (0, 7) \)। **তাই, উত্তর হল:**

(0, 7)