৪৫০ টাকা বার্ষিক ৬% সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা হবে?
সমস্যা:
প্রতিবৎসর ৬% সুদে ৪৫০ টাকার মূলধন কত বছর পরে ৫৫৮ টাকার সুদে-আসলে পরিণত হবে?
সমাধান:
প্রথমে মূলধন, সুদ, এবং সময়ের সম্পর্ক বোঝা যাক।
সুদের সূত্র:
\(A = P(1 + r)^t\)
যেখানে:- \(A\) = মোট পরিমাণ (মূলধন + সুদ)
- \(P\) = মূলধন
- \(r\) = বার্ষিক সুদের হার (দশমিক)
- \(t\) = বছর সংখ্যা
প্রশ্নে, সুদে-আসলে মোট পরিমাণ \(A = 450 + 558 = 1008\) টাকা। মূলধন \(P = 450\) টাকা। সুদের হার \(r = 6\% = 0.06\)।
অতএব, সমীকরণ হবে:
\(1008 = 450(1 + 0.06)^t\)
প্রথমে উভয় পাশে 450 দ্বারা ভাগ করি:
\( \frac{1008}{450} = (1.06)^t \)
\(\frac{1008}{450} = 2.24\)
অর্থাৎ:
\( (1.06)^t = 2.24 \)
এখন, লোগারিদম ব্যবহার করে \(t\) নির্ণয় করি:
\( t = \frac{\ln(2.24)}{\ln(1.06)} \)
গণনা করলে:
\(\ln(2.24) \approx 0.806\)
\(\ln(1.06) \approx 0.0583\)
অতএব:
\(t \approx \frac{0.806}{0.0583} \approx 13.82\) বছর
<-- এখানে মনে হয় ভুল হয়েছে। কারণ প্রশ্নের উত্তর "৪ বছরে"। আসুন আবার দেখি। -->দ্রুত সমাধান:
সাধারণত সুদে-আসলে মোট পরিমাণ হবে:
\(A = P(1 + r)^t\)
মোট সুদ \(S = A - P\)
তাই:
\(S = P[(1 + r)^t - 1]\)
প্রশ্নে, \(S = 558\), \(P = 450\), \(r = 0.06\)
অতএব:
\(558 = 450[(1.06)^t - 1]\)
উভয় পাশে ভাগ করি:
\(\frac{558}{450} = (1.06)^t - 1\)
\(\frac{558}{450} = 1.24\)
অতএব:
\(1.24 = (1.06)^t - 1\)
তাই:
\( (1.06)^t = 2.24 \)
এখানে আবার একই সমাধান আসছে। কিন্তু এটি 13.82 বছর দেখাচ্ছে, যা প্রশ্নের উত্তরে "৪ বছর" এর বিপরীত। সম্ভবত প্রশ্নের অর্থ হল, কত বছর পরে সুদে-আসলে মোট পরিমাণ হবে ৫৫৮ টাকা, অর্থাৎ মূলধন সহ।
তাহলে, মূলধন সহ মোট পরিমাণ হবে:
\(A = 450 + 558 = 1008\) টাকা।
তাই:
\(1008 = 450(1.06)^t\)
অতএব:
\(\frac{1008}{450} = (1.06)^t\)
\(2.24 = (1.06)^t\)
এখন, \(\log\) ব্যবহার করে:
\(t = \frac{\ln(2.24)}{\ln(1.06)} \approx \frac{0.806}{0.0583} \approx 13.82\)
**তাই, সমাধান অনুযায়ী, এটি প্রায় ১৪ বছর পরে হবে। তবে প্রশ্নের উত্তরে "৪ বছরে" বলে থাকলে, সম্ভবত প্রশ্নের অর্থ হলো সুদের পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হলে কত বছর লাগবে।** **নির্ণয় করতে, যদি সুদের পরিমাণ \(S = 558\) হয়, তবে মূলধন \(P=450\), তাহলে আসুন দেখি, কত বছর পরে এই সুদ হবে।** সুতরাং, \[ 558 = 450 \times r \times t \] এটি সরাসরি সুদের সাধারণ সূত্র নয়। তবে, যদি আমরা সরল সুদ ধরে নিই: সাধারণ সুদের সূত্র: \[ S = P \times r \times t \] তাহলে, \[ 558 = 450 \times 0.06 \times t \] অতএব, \[ t = \frac{558}{450 \times 0.06} = \frac{558}{27} = 20.67 \text{ বছর} \] এটি ২০.৬৭ বছর। তবে, প্রশ্নে "৪ বছরে" বলছে, সম্ভবত প্রশ্নের উদ্দেশ্য হলো, সুদের পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হলে কত বছর লাগবে। তাহলে, উত্তরটি হবে: \[ t \approx 20.67 \text{ বছর} \] তবে, প্রশ্নের উত্তরে "৪ বছরে" উল্লেখ করা হয়েছে, যা সম্ভবত ভুল বা অন্য অর্থে বোঝানো হয়েছে। **সুতরাং, মূল সূত্র অনুযায়ী, যদি সুদে-আসলে মোট পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হয়, তবে প্রায় ২০.৬৭ বছর লাগবে।** --- **উপসংহার:** **প্রশ্নের উত্তর "?? বছর" হতে পারে এই ধরা হয় যে, সুদের পরিমাণ ৫৫৮ টাকা হলে মোট সময় প্রায় ২০.৬৭ বছর।**