y = λx(1-x)একটি বক্ররেখা

λ এর কোন মানের জন্য স্পর্শক মুলবিন্দুতে x অক্ষের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে ?

প্রশ্ন: \( y = \lambda x (1 - x) \) এক বক্ররেখার জন্য, কোন মানের জন্য স্পর্শক বিন্দুতে x-অক্ষের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন হয়?

উত্তর: \(\sqrt{3}\)

সমাধান:

1. প্রথমে, বক্ররেখার ডেরিভেটিভ (স্লোপ) নির্ণয় করি: \[ y = \lambda x (1 - x) = \lambda (x - x^2) \] সুতরাং, \[ \frac{dy}{dx} = \lambda (1 - 2x) \] 2. স্পর্শক রেখার ঢাল (slope) হবে: \[ m = \frac{dy}{dx} = \lambda (1 - 2x) \] 3. স্পর্শক বিন্দুতে x-অক্ষের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন হলে, ঢাল হবে: \[ m = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \] অর্থাৎ, \[ \lambda (1 - 2x) = \sqrt{3} \] (অবশ্যই, এই \(x\) মানে স্পর্শক বিন্দুতে x এর মান) 4. এখন, স্পর্শক বিন্দুর y-মান: \[ y = \lambda (x - x^2) \] 5. স্পর্শক বিন্দুতে y-মানের জন্য, x এর মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \(\lambda\) মান নির্ণয় করা যেখানে এই শর্ত পূরণ হয়। এজন্য, প্রথমে স্পর্শক বিন্দুতে \(x\) নির্ণয় করি। 6. স্পর্শক বিন্দুতে শর্ত: \[ \lambda (1 - 2x) = \sqrt{3} \Rightarrow \lambda = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2x} \] 7. এখন, \(y\) এর মান: \[ y = \lambda (x - x^2) = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2x} (x - x^2) \] 8. কিন্তু, এই সমস্যা সমাধানে মূল বিষয় হলো, ওই বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢাল \(\sqrt{3}\) হলে, এই শর্তে \(x\) মান নির্ণয় করা। 9. আবার, স্পর্শক বিন্দুতে \(x\) এর মান হিসেবে, আমরা এই শর্ত ব্যবহার করছি: \[ \lambda (1 - 2x) = \sqrt{3} \] এবং, \(x\) মানের জন্য, এই শর্তটি মানে স্পর্শক বিন্দুতে কোণটি 60°, অর্থাৎ, ঢাল \(\sqrt{3}\)। 10. এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো \(\lambda\) এর মান নির্ণয়। যেহেতু \(x\) এর জন্য এই শর্তে, আমাদের \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, এই ধরনের সমস্যা সাধারণত \(\lambda\) এর মান নির্ণয়ের জন্য, \(\lambda\) এর জন্য সমাধান করা হয়। 11. উপসংহার: \[ \lambda = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2x} \] এবং, \(x\) এর মানের জন্য, যেখানে এই শর্ত পূরণ হয়। 12. যদি আমরা \(x\) এর মান নির্ণয় করি, তাহলে: \[ \lambda (1 - 2x) = \sqrt{3} \] এবং, \(x\) এর জন্য \(y\)-মান: \[ y = \lambda (x - x^2) \] 13. তবে, সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে, \(x\) এর মানের জন্য নির্দিষ্ট করে না থাকলেও, \(\lambda\) এর মান নির্ণয়ের জন্য, মূলতঃ, এটি \(\sqrt{3}\) হয়। 14. অতএব, উপসংহার: \[ \boxed{\lambda = \sqrt{3}} \]