\( y = x^3 - 2x^2 + 3 \) বক্ররেখার (2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এর সমীকরণ নিচের কোনটি?

প্রথমে, বক্ররেখার সমীকরণ হলো:
\( y = x^3 - 2x^2 + 3 \)

প্রথম ধাপে, অঙ্কিত বিন্দু \( (2, 3) \) এ টেকনিক্যালভাবে স্পর্শক এর ঢাল নির্ণয় করতে হবে। তার জন্য, প্রথম ডেরিভেটিভ নিন:
\[
\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x
\]

এখন, \( x = 2 \) এর জন্য ডেরিভেটিভের মান:
\[
\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = 3(2)^2 - 4(2) = 3 \times 4 - 8 = 12 - 8 = 4
\]

অর্থাৎ, স্পর্শক এর ঢাল \( m = 4 \)।

স্পর্শক এর সমীকরণ: যেখানে পয়েন্ট \( (x_1, y_1) = (2, 3) \), ঢাল \( m = 4 \), তাহলে:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

প্রতিস্থাপন করে:
\[
y - 3 = 4(x - 2)
\]
\[
y - 3 = 4x - 8
\]
\[
y = 4x - 8 + 3
\]
\[
y = 4x - 5
\]

অতএব, স্পর্শক এর সমীকরণ হলো:
\( y = 4x - 5 \)