f(x) = x2 + 1 হলে—
- (1, 2) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল = -1/2
- int_0^1(2x)/f(x)dx=ln 2
- ফাংশনটির চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1)
নিচের কোনটি সঠিক?
সঠিক উত্তরঃ
D.
i, ii ও iii
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত ফাংশন:
\(f(x) = x^2 + 1\)
i. বিন্দু (1, 2) তে অভিলম্বের ঢাল = \(-\frac{1}{2}\)
অভিলম্বের ঢাল (tangent slope) হল ফাংশনের ডেরিভেটিভ at that point।
প্রথমে, ডেরিভেটিভ খুঁজে নিই:
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
তাহলে, x = 1 এ:
f'(1) = 2 \times 1 = 2
অতএব, বিন্দু (1, 2) তে অভিলম্বের ঢাল = 2।
তাই, এটি \(-\frac{1}{2}\) নয়। অর্থাৎ, বিবৃতিটি ভুল।
ii. \(\int_0^1 \frac{2x}{f(x)} dx = \ln 2\)
প্রথম, \(\frac{2x}{f(x)}\) এর মান খুঁজে নিই:
\frac{2x}{x^2 + 1}
মূল্যায়ন করি:
\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1} dx
এই ইন্টিগ্রালটি সাবস্টিটিউশনের মাধ্যমে সমাধান করা যায়।
উপসর্গ: u = x^2 + 1, তাহলে, du/dx = 2x, অর্থাৎ, du = 2x dx
সুতরাং, যখন x = 0, u = 1; এবং যখন x = 1, u = 2।
ইন্টিগ্রালটি হয়:
\int_{u=1}^{2} \frac{1}{u} du
= \left[ \ln |u| \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2
অতএব, এই বিবৃতি সঠিক।
iii. ফাংশনটির চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1)
চরম বিন্দু হল যেখানে ডেরিভেটিভ 0 হয় বা অসম্পূর্ণ হয়।
f'(x) = 2x
এখানে, f'(x) = 0 when x = 0।
ফাংশনের মান যখন x = 0:
f(0) = 0^2 + 1 = 1
অর্থাৎ, চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1)।
এটি সত্য।
উপসংহার:
প্রথম বিবৃতি ভুল, অন্য দুইটি সঠিক।
অতএব, সঠিক উত্তর: ii ও iii