intxlnxdx এর মান কোনটি?

∫xlnx dx এর মান নির্ণয়:

এখানে, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

ফর্মুলা: ∫u v dx = u∫v dx - ∫(du/dx ∫v dx) dx

ধরি, u = lnx এবং v = x

তাহলে, du/dx = 1/x এবং ∫v dx = ∫x dx = x²/2

সুতরাং, ∫xlnx dx = lnx ∫x dx - ∫(1/x * x²/2) dx

= lnx * (x²/2) - ∫(x/2) dx

= (x²/2)lnx - (1/2)∫x dx

= (x²/2)lnx - (1/2) * (x²/2) + c

= (x²/2)lnx - x²/4 + c

অতএব, ∫xlnx dx = x²/2 lnx - x²/4 + c 🎉