\( \int_0^1 \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} dx = ? \)
JUUnit-ASet-4উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণsine ও cosine এর সংমিশ্রণ সংক্রান্ত (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
Another Explanation (5):
প্রথমত, সমাধানের জন্য আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করবঃ
\[ I = \int_0^1 \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \, dx \]
চিহ্নিত করবঃ
\[ u = \sin x \]
অতঃ
\[ du = \cos x \, dx \]
সুতরাং, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin 0 = 0 \)
আর যখন \( x = 1 \), তখন \( u = \sin 1 \)
এবং, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে:
\[ I = \int_{u=0}^{u=\sin 1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} \, du \]
এটি একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল:
\[ I = \int_0^{\sin 1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} \, du \]
এবং, এর সমাধান হলো:
\[ I = \sinh^{-1} u \bigg|_0^{\sin 1} = \sinh^{-1} (\sin 1) - \sinh^{-1} (0) \]
জেনে রাখি, \(\sinh^{-1} 0 = 0\)। অতএব,
\[ I = \sinh^{-1} (\sin 1) \]
অতএব, ইন্টিগ্রালের মান হলো:
\[ \boxed{ \sinh^{-1} (\sin 1) } \]
এবং, এটি বাস্তব মানের একটি মান, অর্থাৎ "nan" নয়।