(x+3)²=8y পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

প্রশ্ন:

\( (x+3)^2 = 8y \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:

1. প্রথমে, সমীকরণটি লিখি: \[ (x+3)^2 = 8y \]
2. এটি একটি পরাবৃত্তের মানদণ্ডের সমীকরণ, যেখানে মানদণ্ডের (vertex) সূত্রে দেখা যায়: \[ y = \frac{(x+3)^2}{8} \]
3. এখানে, এটি একটি উলম্ব পরাবৃত্ত, যার ওপেনিং উপরে। এর মানদণ্ডের (vertex) বিন্দুটি তখন যেখানে \(x = -3\), কারণ \(x+3=0\) তে সমীকরণটি সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ মান নেয়।
4. অতএব, মানদণ্ডের স্থানাঙ্ক হলো: \[ (h, k) = (-3, y_{vertex}) \]
5. মানদণ্ডে, \(x = -3\): \[ y = \frac{( -3 + 3)^2}{8} = \frac{0^2}{8} = 0 \]
6. অতএব, মানদণ্ডের স্থানাঙ্ক হলো: \[ (-3, 0) \]
7. তবে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য, পরাবৃত্তের ফর্মুলা মনে করা দরকার। সাধারণত, পরাবৃত্তের সমীকরণ: \[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \] যেখানে, \((h, k)\) হলো উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং \(p\) হলো উপকেন্দ্র থেকে মানদণ্ড পর্যন্ত দূরত্ব।
8. আমাদের সমীকরণকে এই রূপে আনতে হবে: \[ (x + 3)^2 = 8 y \] তবে, এটি: \[ (x - (-3))^2 = 8 y \] এবং \[ 8 y = 4p(y - 0) \Rightarrow 4p y = 8 y \Rightarrow 4p = 8 \Rightarrow p = 2 \]
9. এখন, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \[ (h + p, k) = (-3 + 2, 0) = (-1, 0) \] তবে, এখানে ভুলের সম্ভাবনা আছে, কারণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্কের জন্য সূত্র অনুযায়ী, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: \[ (h + p, k) \quad \text{(উপকেন্দ্রের জন্য, যদি উলম্ব পরাবৃত্ত হয়)} \] কিন্তু উপকেন্দ্রের সঠিক স্থানাঙ্ক নির্ণয়ে আরও বিশ্লেষণ প্রয়োজন।
10. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্কের জন্য, সাধারণত, পরাবৃত্তের সমীকরণ যদি \((x - h)^2 = 4p(y - k)\) হয়, তবে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \[ (h, k + p) \] এই সূত্র অনুযায়ী, কারণ উপকেন্দ্র মানদণ্ডের উপরে থাকে।
11. সুতরাং, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \[ (h, k + p) = (-3, 0 + 2) = (-3, 2) \]

উত্তর:

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: (-3, 2)