Lim_(x→π/2) (1-Sinx)/(π/2-x)^2 =? 

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \pi/2} \frac{1 - \sin x}{(\pi/2 - x)^2}\)

উত্তর: এই লিমিটের মান নির্ণয় করতে প্রথমে লক্ষ্য করুন যে যখন \(x \to \pi/2\), তখন \(\sin x \to 1\)। তাই, উভয় উভয় সংখ্যার জন্য \(\sin x\) এর ট্যানডেন্টের জন্য \(\sin x \to 1\), ও নাম্বার ও ডেনমিনেটর উভয়ই শূন্যের দিকে যাচ্ছে। এটি \(0/0\) ইনডেটিভ, তাই লোপিটাল রুল প্রয়োগ করা সম্ভব।

প্রথমে, লিমিটের রূপ:

\[ \lim_{x \to \pi/2} \frac{1 - \sin x}{(\pi/2 - x)^2} \]

উপরের লিমিটে, numerator ও denominator উভয়ই শূন্যের দিকে যাচ্ছে। তাই, আমরা লোপিটাল রুল প্রয়োগ করব:

\[ \lim_{x \to \pi/2} \frac{d}{dx} (1 - \sin x) \Big/ \frac{d}{dx} \left( (\pi/2 - x)^2 \right) \]

ডিফারেন্সিয়েশন করলে:

\[ \frac{ - \cos x }{ 2 (\pi/2 - x) \times (-1) } = \frac{ \cos x }{ 2 (\pi/2 - x) } \]

এখন, আবার যখন \(x \to \pi/2\), \(\cos x \to 0\) ও \(\pi/2 - x \to 0\)। আবার এই লিমিটের মান নির্ণয় করতে হবে।

এখন, এই নতুন লিমিট হল:

\[ \lim_{x \to \pi/2} \frac{\cos x}{2 (\pi/2 - x)} \]

প্রতিবার, যখন \(x \to \pi/2\), \(\cos x \to 0\), এবং \(\pi/2 - x \to 0\)। আবার আমরা লোপিটাল রুল প্রয়োগ করব।

ডিফারেন্সিয়েশন করলে:

\[ \frac{ - \sin x }{ 2 \times (-1) } = \frac{ \sin x }{ 2 } \]

তাই, লিমিটের মান হবে:

\[ \lim_{x \to \pi/2} \frac{ \sin x }{ 2 } = \frac{ \sin (\pi/2) }{ 2 } = \frac{1}{2}

অতএব,

উত্তর: \(\boxed{\frac{1}{2}}\)