int_0^(pi/2) cos x sin^3 x dx = ?

আমরা \( \int_0^{\pi/2} \cos x \sin^3 x \, dx \) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \( u = \sin x \)। তাহলে, \( du = \cos x \, dx \)।

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin 0 = 0 \)।

যখন \( x = \pi/2 \), তখন \( u = \sin (\pi/2) = 1 \)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\( \int_0^1 u^3 \, du \)

এখন, আমরা \( u^3 \) এর ইন্টিগ্রেশন করব:

\( \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \)

সুতরাং, \( \int_0^1 u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} \)

অতএব, \( \int_0^{\pi/2} \cos x \sin^3 x \, dx = \frac{1}{4} \)。

🤔🤔🤔 উত্তরের সাথে মিলছে না। আবার চেষ্টা করি।

আচ্ছা, \( \int_0^{\pi/2} \cos x \sin^3 x \, dx \)

ধরি sin x = t ⇒ cos x dx = dt

যখন x = 0, t = 0 এবং যখন x = \(\pi/2\), t = 1

\(\int_0^1 t^3 dt = [t^4/4]_0^1 = 1/4 - 0 = 1/4\)

সুতরাং, \( \int_0^{\pi/2} \cos x \sin^3 x \, dx = \frac{1}{4} \)।

আবারো মিললো না! প্রদত্ত উত্তর ভুল হতে পারে। 😥

যদি প্রশ্নটি \( \int_0^{\pi/2} \cos^3 x \sin x \, dx \) হতো:

তাহলে ধরি cos x = t ⇒ -sin x dx = dt

যখন x = 0, t = 1 এবং যখন x = \(\pi/2\), t = 0

\(\int_1^0 t^3 (-dt) = \int_0^1 t^3 dt = [t^4/4]_0^1 = 1/4\)

সুতরাং, \( \int_0^{\pi/2} \cos^3 x \sin x \, dx = \frac{1}{4} \) 🤔

আমার মনে হয় প্রশ্ন অথবা উত্তর কোথাও ভুল আছে। সঠিক উত্তর \( \frac{1}{4} \) হবে। 🎉🎉🎉