\( x^3 - 1 = 0 \) সমীকরণের মূলগুলির যোগফল কত?

দেওয়া আছে, \( x^3 - 1 = 0 \) একটি ত্রিমাত্রিক সমীকরণ।

এই সমীকরণটিকে লেখা যায়:

\( x^3 = 1 \)

\( x^3 - 1^3 = 0 \)

আমরা জানি, \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

সুতরাং, \( (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \)

সুতরাং, \( x - 1 = 0 \) অথবা \( x^2 + x + 1 = 0 \)

প্রথম সমীকরণ থেকে, \( x = 1 \)

দ্বিতীয় সমীকরণ \( x^2 + x + 1 = 0 \) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এই সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয়ের জন্য আমরা দ্বিঘাত সূত্রের সাহায্য নিতে পারি:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

এখানে, \( a = 1 \), \( b = 1 \), এবং \( c = 1 \)।

সুতরাং, \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \)

\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \)

\( x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \)

সুতরাং, \( x \) এর তিনটি মান হল: \( 1 \), \( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \), এবং \( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \)।

মূলগুলির যোগফল:

\( 1 + \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} + \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \)

\( = 1 + \frac{-1 + i\sqrt{3} - 1 - i\sqrt{3}}{2} \)

\( = 1 + \frac{-2}{2} \)

\( = 1 - 1 \)

\( = 0 \)

অতএব, মূলগুলির যোগফল 0। 🎉