XY তলের সমান্তরাল এবং 2doti-2dotj+6dotk  সাথে সমকোণে অবস্থিত একক ভেক্টরটি নিচের কোনটি?

XY তলের সমান্তরাল  2hati-2hatj+6hatk  ও এর সমকোন vector টি =  xhati+yhatj
(2hati-2hatj+6hatk).(xhati+yhatj)=0 [দুটি লম্ব ভেক্টরের ডট প্রডাক্ট শুন্য হয়. 2x-2y=0 =>2x=2y=> x=y
xhati+yhatj ভেক্টর টির মান √(x²+y²) = 1 [ভেক্টর টি একক ভেক্টর]
 √(x²+x²) =1 => √(2x²) =1=> 2x²=1 =>x²=1/2=> x=±1/(√2) [x=y]
অজানা ভেক্টর= xhati±yhatj
অতএব ভেক্টরটি = (hati+hatj)/(√2)

প্রশ্ন:

XY তলের সমান্তরাল এবং \(2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}\) এর সাথে সমকোণে অবস্থিত একক ভেক্টরটি নির্ণয় কর।

সমাধান:

যেহেতু ভেক্টরটি XY তলের সমান্তরাল, তাই এর \(\hat{k}\) উপাংশ 0 হবে। সুতরাং, ভেক্টরটি \(\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j}\) আকারের হবে।

আবার, \(\vec{v}\) ভেক্টরটি \(2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}\) এর সাথে সমকোণে অবস্থিত। তাই তাদের ডট গুণফল 0 হবে।

\(\vec{v} \cdot (2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) = 0\)
\(\implies 2a - 2b + 0 = 0\)
\(\implies a = b\)

সুতরাং, \(\vec{v} = a\hat{i} + a\hat{j}\)।

\(\vec{v}\) একটি একক ভেক্টর, তাই এর মান 1 হবে।

\(|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2} = 1\)
\(\implies \sqrt{2a^2} = 1\)
\(\implies \sqrt{2} |a| = 1\)
\(\implies |a| = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

সুতরাং, \(\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})\).

অতএব, নির্ণেয় একক ভেক্টরটি হলো: \(\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}\) অথবা \(\frac{-\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}\).

দেয়া আছে উত্তর: \(\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}\) ✅