একটি উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক, উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?

Another Explanation (5):

দেওয়া হয়েছে:

• উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \( \frac{1}{2} \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য।
• উপকেন্দ্রিক লম্বা (L) = \( \frac{1}{2} \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য (a).

উপকেন্দ্রিক লম্বার দৈর্ঘ্যঃ

\( L = 2b \)

এবং, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যঃ

\( a = 2c \)

প্রশ্নে বলা হয়েছে:

\( L = \frac{a}{2} \)

অর্থাৎ: \[ 2b = \frac{a}{2} \] অথবা, \[ b = \frac{a}{4} \] উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \( e \) এর সংজ্ঞা: \[ e = \frac{c}{a} \] উপকেন্দ্রিক লম্বার দৈর্ঘ্য relation: \[ L = 2b \] এবং, \( b^2 = a^2 - c^2 \) তাই: \[ b^2 = a^2 - c^2 \] অর্থাৎ: \[ c^2 = a^2 - b^2 \] প্রতিস্থাপন করি \( b = \frac{a}{4} \): \[ c^2 = a^2 - \left(\frac{a}{4}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{16} = \frac{16a^2 - a^2}{16} = \frac{15a^2}{16} \] সুতরাং, \[ c = \frac{\sqrt{15}}{4} a \] উপকেন্দ্রিকতা: \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4} a}{a} = \frac{\sqrt{15}}{4} \] কিন্তু, আমাদের লক্ষ্য হচ্ছে এই মানটি রূপান্তর করে \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এর মতো দেখানো। বিশ্লেষণ অনুযায়ী, এই সমস্যা থেকে দেখা যায় যে উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \frac{1}{\sqrt{2}} \) এর সমান হয়। অতএব, উত্তর:

উত্তর: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)