y=mx+c সরলরেখাটি y²=8x পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ \(y = mx + c\) এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2 = 8x\)।

যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \(y^2 = 8x\) সমীকরণে \(y = mx + c\) বসিয়ে পাই,

\((mx + c)^2 = 8x\)

\(m^2x^2 + 2mcx + c^2 = 8x\)

\(m^2x^2 + (2mc - 8)x + c^2 = 0\)

যেহেতু এটি একটি স্পর্শক, তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে। সুতরাং, এর নিরূপক (discriminant) শূন্য হবে।

\((2mc - 8)^2 - 4 \cdot m^2 \cdot c^2 = 0\)

\(4m^2c^2 - 32mc + 64 - 4m^2c^2 = 0\)

\(-32mc + 64 = 0\)

\(32mc = 64\)

\(c = \frac{64}{32m}\)

\(c = \frac{2}{m}\)

এখন, \(c\) এর মান \(m^2x^2 + (2mc - 8)x + c^2 = 0\) সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(m^2x^2 + (2m \cdot \frac{2}{m} - 8)x + (\frac{2}{m})^2 = 0\)

\(m^2x^2 + (4 - 8)x + \frac{4}{m^2} = 0\)

\(m^2x^2 - 4x + \frac{4}{m^2} = 0\)

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot m^2 \cdot \frac{4}{m^2}}}{2m^2}\)

\(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2m^2}\)

\(x = \frac{4}{2m^2} = \frac{2}{m^2}\)

সুতরাং, \(x = \frac{2}{m^2}\)

এখন, \(y = mx + c = m \cdot \frac{2}{m^2} + \frac{2}{m} = \frac{2}{m} + \frac{2}{m} = \frac{4}{m}\)

সুতরাং, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{2}{m^2}, \frac{4}{m}\right)\) 🥳।