intsqrt((1+x)/(1-x))=f(x)+c হলে, f(x) এর মান-

প্রশ্ন: \( \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx = f(x) + c \) হলে, \( f(x) \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \( I = \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx \)

এখন, লব ও হরকে \( \sqrt{1+x} \) দ্বারা গুণ করে পাই,

\( I = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)

\( I = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(x) + c_1 \)

এখন, \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) নির্ণয় করার জন্য, ধরি \( 1-x^2 = u \), সুতরাং \( -2x \, dx = du \)

তাহলে, \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + c_2 = -\sqrt{1-x^2} + c_2 \)

অতএব, \( I = \sin^{-1}(x) - \sqrt{1-x^2} + c \), যেখানে \( c = c_1 + c_2 \)

সুতরাং, \( f(x) = \sin^{-1}(x) - \sqrt{1-x^2} \)

উত্তর: \( \sin^{-1}(x) - \sqrt{1-x^2} \) 🎉