যদি x^p y^q = (x + y)^p+q হয়, তাহলে dy/dx এর মান কোনটি?

দেওয়া আছে, \(x^p y^q = (x + y)^{p+q}\)

উভয় পক্ষে লগারিদম নিয়ে পাই,

\(\ln(x^p y^q) = \ln((x + y)^{p+q})\)

\(p \ln(x) + q \ln(y) = (p+q) \ln(x + y)\)

এখন, x এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,

\(\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)\)

\(\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} + \frac{p+q}{x+y} \frac{dy}{dx}\)

\(\frac{dy}{dx} \left(\frac{q}{y} - \frac{p+q}{x+y}\right) = \frac{p+q}{x+y} - \frac{p}{x}\)

\(\frac{dy}{dx} \left(\frac{q(x+y) - (p+q)y}{y(x+y)}\right) = \frac{x(p+q) - p(x+y)}{x(x+y)}\)

\(\frac{dy}{dx} \left(\frac{qx + qy - py - qy}{y(x+y)}\right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x+y)}\)

\(\frac{dy}{dx} \left(\frac{qx - py}{y(x+y)}\right) = \frac{qx - py}{x(x+y)}\)

যদি \(qx - py \neq 0\) হয়, তবে,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{qx - py}{x(x+y)} \cdot \frac{y(x+y)}{qx - py}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\) 🥳

অতএব, \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\)