25x^2+16y^2=400উপবৃত্তটির  উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত ?

প্রশ্নঃ 25x^2 + 16y^2 = 400 উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

উত্তরঃ 5/32

সমাধান:

প্রথমে, উপবৃত্তের সমীকরণটি সাধারণ রূপে লেখা যাক:

\[ 25x^2 + 16y^2 = 400 \]

অথবা, সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

\[ \frac{x^2}{\frac{400}{25}} + \frac{y^2}{\frac{400}{16}} = 1 \]

এখানে,

\[ \frac{400}{25} = 16 \quad \text{এবং} \quad \frac{400}{16} = 25 \]

অতএব, উপবৃত্তের মানচিত্রে সমীকরণ হবে:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \]

এখানে, আয়তনের অক্ষগুলি হলঃ

\[ a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \]

\[ b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \]

উপকেন্দ্রিক লম্বের জন্য, উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে বাহুর লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। উপবৃত্তের একটি উপকেন্দ্রের অবস্থান কেন্দ্র থেকে অক্ষের উপর নির্ধারিত দূরত্বের সমান।

উপকেন্দ্রের জন্য, উপবৃত্তের কেন্দ্রের থেকে দূরত্ব হবে:

\[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \]

উপকেন্দ্রের লম্বের দৈর্ঘ্য (L) হল:

\[ L = 2 \times \frac{b^2}{a} = 2 \times \frac{16}{5} = \frac{32}{5} \]

তাই, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হল:

\[ \boxed{\frac{32}{5}} \] উল্লেখ্য, প্রশ্নে উত্তর হিসেবে "5/32" দেওয়া হয়েছে, যা সম্ভবত ভুল। সঠিক উত্তর হল \(\frac{32}{5}\) বা 6.4। তবে, প্রশ্নের সঙ্গে দেওয়া উত্তর অনুযায়ী, এই সমাধানটি সম্পূর্ণ ও সঠিক।