f(theta) = cos2theta  হলে-

1.  intf(theta)d theta = (sin2theta)/2+c
2.  intsqrt(1-f(theta) d theta) = -sqrt2costheta +c
3.  intsqrt(1+f(theta)) d theta = sqrt2 sintheta + c

নিচের কোনটি সঠিক ?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে \(f(\theta) = \cos 2\theta\)। নিচে তিনটি ইন্টিগ্রাল অপারেশনের সমাধান দেওয়া হলো এবং যাচাই করা হলো কোনগুলো সঠিক। --- ### i. \(\int f(\theta) d\theta = \frac{\sin 2\theta}{2} + c\) **সমাধান:** \[ f(\theta) = \cos 2\theta \] তাহলে, \[ \int \cos 2\theta \, d\theta \] \[ = \frac{1}{2} \int 2 \cos 2\theta \, d\theta \] অথবা, \[ = \frac{1}{2} \int \frac{d}{d\theta} (\sin 2\theta) \, d\theta \] এবং, \[ \int \cos 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta + c \] সুতরাং, **প্রথমটি সঠিক**। --- ### ii. \(\int \sqrt{1 - f(\theta)} \, d\theta = - \sqrt{2} \cos \theta + c\) **সমাধান:** \[ f(\theta) = \cos 2\theta \] অর্থাৎ, \[ \int \sqrt{1 - \cos 2\theta} \, d\theta \] আমরা জানি, \[ 1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta \] অতএব, \[ \int \sqrt{2 \sin^2 \theta} \, d\theta = \int \sqrt{2} |\sin \theta| \, d\theta \] ধরা হলো \(\theta\) এমন জোনে যেখানে \(\sin \theta \geq 0\), সেক্ষেত্রে, \[ = \sqrt{2} \int \sin \theta \, d\theta \] \[ = - \sqrt{2} \cos \theta + c \] অতএব, **দ্বিতীয়টি সঠিক**। --- ### iii. \(\int \sqrt{1 + f(\theta)} \, d\theta = \sqrt{2} \sin \theta + c\) **সমাধান:** \[ f(\theta) = \cos 2\theta \] তাহলে, \[ \int \sqrt{1 + \cos 2\theta} \, d\theta \] আমরা জানি, \[ 1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta \] অতএব, \[ \int \sqrt{2 \cos^2 \theta} \, d\theta = \int \sqrt{2} |\cos \theta| \, d\theta \] ধরা হলো \(\theta\) এমন জোনে যেখানে \(\cos \theta \geq 0\), তাহলে, \[ = \sqrt{2} \int \cos \theta \, d\theta = \sqrt{2} \sin \theta + c \] সুতরাং, **তৃতীয়টি সঠিক**। --- ### **উপসংহার:** সকল তিনটি অপারেশনই সঠিক। **অতএব, উত্তর: "i, ii ও iii"।**