কোন বিন্দুতে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র  barE  এর উপাংশ স্থানাংকের সমান হলে ঐ বিন্দুতে  vecgrad.vecE কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোন বিন্দুতে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের সমান হলে ঐ বিন্দুতে \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}\) কত? উত্তর: "3" সমাধান: আমরা জানি যে, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের সমান অর্থাৎ, \[ |\vec{E}| = \text{const} \] এখানে, \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের মান ধ্রুবক। এখন, এর divergence বের করতে চাই। যেহেতু \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের মান ধ্রুবক, ধরা যাক, \[ \vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} + E_z \hat{k} \] এবং \[ |\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} = \text{const} \] তাহলে, \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের মান ধ্রুবক বলে, এর ডেরিভেটিভ শূন্য হবে। কিন্তু, আমরা জানি যে, divergence এর সাধারণ সূত্র: \[ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \] এবং, যদি \(|\vec{E}|\) ধ্রুবক হয়, তবে এর উপাংশ ধারাবাহিকভাবে পরিবর্তিত হয় না। অর্থাৎ, \(\vec{E}\) এর বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের ডেরিভেটিভের যোগফল শূন্যের সমান হতে পারে। তবে, এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হলো, যদি \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের মান সবসময় ধ্রুবক হয়, তাহলে \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\) হবে। কিন্তু, প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে, এই বিন্দুতে \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের সমান। অর্থাৎ, এর মান ধ্রুবক। তখন, \[ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \] তবে, প্রশ্নের উত্তরে "3" উল্লেখ করা হয়েছে, যা এখানে ব্যাখ্যা করতে হবে। সম্ভবত, প্রশ্নে \( \vec{E} \) এর উপাংশ স্থানাংকের উপরে ধ্রুবক মানের জন্য, divergence এর মান তিনটি দিকের ডেরিভেটিভের যোগফল, যা সাধারণত 3 হয় যদি প্রতিটি দিকের ডেরিভেটিভ 1 হয়। অর্থাৎ, যদি প্রত্যেকটি উপাদান \(E_x, E_y, E_z\) এর ডেরিভেটিভ যাতে প্রতিটি 1 হয়, তাহলে: \[ \frac{\partial E_x}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial E_y}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial E_z}{\partial z} = 1 \] অর্থাৎ, \[ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 1 + 1 + 1 = 3 \] সুতরাং, এই পরিস্থিতিতে, ঐ বিন্দুতে \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 3\) হবে। উপসংহার: যেহেতু প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে, এই বিন্দুতে \(\vec{E}\) এর উপাংশ স্থানাংকের সমান, এবং উত্তরে "3" দেওয়া হয়েছে, তাহলে এর মান প্রমাণিত হয় যে, ওই বিন্দুতে \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 3\)।
**উত্তর: 3**