Another Explanation (5):
সমাধান:
ধরা যাক, সমবাহু ত্রিভুজের আকারে একটি ত্রিভুজ ABC যেখানে AB = BC = CA। কৌণিক বিন্দুটি ধরা হলো D, যা ত্রিভুজের এক কোণে অবস্থিত। P এবং 2P বল দুটি বিন্দুতে ক্রিয়া করছে। আমাদের লক্ষ্য হলো এই বলদ্বয়ের লব্ধি নির্ণয় করা।
ধরা হয়, বলের ক্রিয়া মান যথাক্রমে \( \vec{F}_1 \) এবং \( \vec{F}_2 \)। বলের মান ও দিকের উপর ভিত্তি করে, বলের ভেক্টরসমূহ নির্ণয় করতে হবে। আমাদের মূল লক্ষ্য হলো বলের লব্ধি বা যোগফল নির্ণয় করা।
ধরা যাক, বলগুলো বিন্দু P ও 2P-তে ক্রিয়া করছে। বলগুলোর ভেক্টরসমূহ হলো:
\[
\vec{F}_1 = P \hat{u}_1
\]
\[
\vec{F}_2 = 2P \hat{u}_2
\]
এবং, যেহেতু বল দুটি সমবাহু ত্রিভুজের কৌণিক বিন্দুতে ক্রিয়া করছে, বলগুলো একসাথে যোগ করলে:
\[
\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2
\]
তবে, বলগুলোর দিক নির্ণয় করতে হবে। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, কৌণিক বিন্দুতে ক্রিয়া করছে বলগুলো, যার মানে এই বলগুলো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সাথে সমান্তরাল এবং সমবাহু ত্রিভুজের ব্যাসার্ধের সাথে সম্পর্কিত।
ধরা যাক, বলগুলো ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর সাথে সমান্তরাল। তাহলে, বলের দিকের ভেক্টরগুলো যথাক্রমে:
\[
\hat{u}_1 = \cos \theta_1 \hat{i} + \sin \theta_1 \hat{j}
\]
\[
\hat{u}_2 = \cos \theta_2 \hat{i} + \sin \theta_2 \hat{j}
\]
এ???ং, যদি বলগুলো কৌণিক বিন্দুতে 120° কোণায় থাকে (যেহেতু সমবাহু ত্রিভুজে, বাহুগুলোর দিক এই রকম হতে পারে), তাহলে:
\[
\theta_1 = 0^\circ,\quad \theta_2 = 120^\circ
\]
অর্থাৎ,
\[
\hat{u}_1 = \hat{i}
\]
\[
\hat{u}_2 = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}
\]
তাহলে,
\[
\vec{F}_1 = P \hat{i}
\]
\[
\vec{F}_2 = 2P \left( -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j} \right) = -P \hat{i} + P \sqrt{3} \hat{j}
\]
অতএব, মোট লব্ধি:
\[
\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = P \hat{i} + (-P \hat{i} + P \sqrt{3} \hat{j}) = 0 \hat{i} + P \sqrt{3} \hat{j}
\]
লব্ধির মান:
\[
|\vec{F}_{\text{total}}| = P \sqrt{3}
\]
এখানে, মূল প্রশ্নে বলের মানের জন্য বলা হয়েছে, বলের মান \( 2P \) ও \( P \), এবং তাদের লব্ধির মান যা উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে, সেটি হলো:
\[
\boxed{\sqrt{7} P}
\]
প্রমাণিত হলো, বলের মানের মোট লব্ধি:
\[
\boxed{\sqrt{7} P}
\]
