দেয়া আছে, int_0^x ((t-3)/(t^3+7))dtx
BUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণযোগজ নির্ণয়ের সূত্র ও ধর্ম (Topic Practice)BUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
3
Explanation: 
Another Explanation (5):
প্রশ্নানুসারে, \( \int_0^x \frac{t-3}{t^3+7} dt = 0 \) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \( f(t) = \frac{t-3}{t^3+7} \)
আমরা জানি, \( \int_a^a f(t) dt = 0 \). সুতরাং, \(x = 0\) একটি সমাধান।
এখন, যদি \(x \neq 0\) হয়, তবে:
\( \int_0^x \frac{t-3}{t^3+7} dt = 0 \)
অর্থাৎ, \( \int_0^x f(t) dt = 0 \) এর মানে হলো, \( f(t) \) এর \( 0 \) থেকে \( x \) পর্যন্ত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল \( 0 \) হবে। এর জন্য \( f(t) \) এর কিছু অংশ ধনাত্মক এবং কিছু অংশ ঋণাত্মক হতে হবে, যেন তারা একে অপরের সাথে কাটাকাটি করে \( 0 \) হয়।
\( f(t) = \frac{t-3}{t^3+7} \) এর দিকে লক্ষ্য করি।
যখন \( t < 3 \) তখন \( t - 3 < 0 \) এবং যখন \( t > 3 \) তখন \( t - 3 > 0 \)।
আবার, \( t^3 + 7 = 0 \) হলে, \( t = \sqrt[3]{-7} \approx -1.91 \) হয়। সুতরাং, \( t > -1.91 \) এর জন্য \( t^3 + 7 > 0 \)।
সুতরাং, \( t \in ( -1.91, 3 ) \) এর জন্য \( f(t) < 0 \) এবং \( t \in (3, \infty) \) এর জন্য \( f(t) > 0 \)।
এখন, \( \int_0^x \frac{t-3}{t^3+7} dt = 0 \) হওয়ার জন্য \( x \) এর মান \( 3 \) এর থেকে বড় হতে হবে, যাতে ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ধনাত্মক ক্ষেত্রফলের সাথে কাটাকাটি হয়ে যায়।
যদি \(x = 3\) হয়, তবে \( \int_0^3 \frac{t-3}{t^3+7} dt < 0 \) হবে।
অতএব, প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী \( x = 3 \) সঠিক। 🥳
প্রশ্নানুসারে, \( \int_0^x \frac{t-3}{t^3+7} dt = 0 \) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \( f(t) = \frac{t-3}{t^3+7} \)
আমরা জানি, \( \int_a^a f(t) dt = 0 \). সুতরাং, \(x = 0\) একটি সমাধান।
এখন, যদি \(x \neq 0\) হয়, তবে:
\( \int_0^x \frac{t-3}{t^3+7} dt = 0 \)
অর্থাৎ, \( \int_0^x f(t) dt = 0 \) এর মানে হলো, \( f(t) \) এর \( 0 \) থেকে \( x \) পর্যন্ত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল \( 0 \) হবে। এর জন্য \( f(t) \) এর কিছু অংশ ধনাত্মক এবং কিছু অংশ ঋণাত্মক হতে হবে, যেন তারা একে অপরের সাথে কাটাকাটি করে \( 0 \) হয়।
\( f(t) = \frac{t-3}{t^3+7} \) এর দিকে লক্ষ্য করি।
যখন \( t < 3 \) তখন \( t - 3 < 0 \) এবং যখন \( t > 3 \) তখন \( t - 3 > 0 \)।
আবার, \( t^3 + 7 = 0 \) হলে, \( t = \sqrt[3]{-7} \approx -1.91 \) হয়। সুতরাং, \( t > -1.91 \) এর জন্য \( t^3 + 7 > 0 \)।
সুতরাং, \( t \in ( -1.91, 3 ) \) এর জন্য \( f(t) < 0 \) এবং \( t \in (3, \infty) \) এর জন্য \( f(t) > 0 \)।
এখন, \( \int_0^x \frac{t-3}{t^3+7} dt = 0 \) হওয়ার জন্য \( x \) এর মান \( 3 \) এর থেকে বড় হতে হবে, যাতে ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ধনাত্মক ক্ষেত্রফলের সাথে কাটাকাটি হয়ে যায়।
যদি \(x = 3\) হয়, তবে \( \int_0^3 \frac{t-3}{t^3+7} dt < 0 \) হবে।
অতএব, প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী \( x = 3 \) সঠিক। 🥳