সাম্যাবস্থান থেকে একটি সরল দোলনগতি সম্পন্ন কণার কী পরিমাণ সরণ হলে কণাটির বেগ সর্বোচ্চ বেগের অর্ধেক হবে?

সরল দোলনগতির ক্ষেত্রে, সাম্যাবস্থান থেকে \(x\) সরণে কণার বেগ \(v\) হলে,

\(v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}\), যেখানে \(A\) = বিস্তার এবং \(\omega\) = কৌণিক কম্পাঙ্ক।

কণাটির সর্বোচ্চ বেগ \(v_{max} = \omega A\).

প্রশ্নানুসারে, \(v = \frac{v_{max}}{2}\) হতে হবে।

সুতরাং, \(\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{\omega A}{2}\)

বা, \(\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{2}\)

বর্গ করে পাই, \(A^2 - x^2 = \frac{A^2}{4}\)

বা, \(x^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}\)

অতএব, \(x = \pm \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A\)

সুতরাং, সাম্যাবস্থান থেকে কণাটির সরণ \( \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A\) হলে বেগ সর্বোচ্চ বেগের অর্ধেক হবে। 🎉