যদি  A = [(1,1,0), (1,2,3)]  এবং  B = [(0,2), (1,2), (0,1)]  হয় তবে নিচের কোনটি সত্য ?

ধাপ ১: \(AB\) নির্ণয় 📝

\(A\) একটি \(2 \times 3\) ম্যাট্রিক্স এবং \(B\) একটি \(3 \times 2\) ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, \(AB\) একটি \(2 \times 2\) ম্যাট্রিক্স হবে।

\(AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0) & (1\cdot2 + 1\cdot2 + 0\cdot1) \\ (1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot0) & (1\cdot2 + 2\cdot2 + 3\cdot1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}\)

ধাপ ২: \(BA\) নির্ণয় 🤔

\(B\) একটি \(3 \times 2\) ম্যাট্রিক্স এবং \(A\) একটি \(2 \times 3\) ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, \(BA\) একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স হবে।

\(BA = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0\cdot1 + 2\cdot1) & (0\cdot1 + 2\cdot2) & (0\cdot0 + 2\cdot3) \\ (1\cdot1 + 2\cdot1) & (1\cdot1 + 2\cdot2) & (1\cdot0 + 2\cdot3) \\ (0\cdot1 + 1\cdot1) & (0\cdot1 + 1\cdot2) & (0\cdot0 + 1\cdot3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

ধাপ ৩: তুলনা 🧐

\(AB = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}\) এবং \(BA = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

যেহেতু \(AB\) একটি \(2 \times 2\) ম্যাট্রিক্স এবং \(BA\) একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স, তাই তারা সমান হতে পারে না। সুতরাং, \(AB \neq BA\) ✅।