অবাস্তব মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে-সিদ্ধ করেনাবর্গ করলে পাওয়া যায়বর্গমূল করলে পাওয়া যায় নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: অবাস্তব মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে- i ও ii নিচের কোনটি সঠিক? উত্তর: "i ও ii" সমাধান: ধরা যাক, একটি অবাস্তব মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হলো: \[ \sin \theta = i \] অথবা, \[ \cos \theta = i \] এখন, এই সমীকরণের সমাধান করতে হলে, আমরা বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। ### 1. সমীকরণে বর্গ করলে: ধরা যাক, \(\sin \theta = i\) তাহলে, \[ \sin^2 \theta = i^2 = -1 \] অর্থাৎ, \[ \sin^2 \theta + 1 = 0 \] অথবা, \[ \sin^2 \theta = -1 \] এটি অবাস্তব মূল, কারন বাস্তব সংখ্যার জন্য \(\sin^2 \theta \geq 0\), কিন্তু এখানে \(\sin^2 \theta = -1\)। ### 2. সমীকরণের বর্গমূল করলে: \(\sin \theta = i\) হলে, \[ \theta = \sin^{-1} i \] অথবা, \[ \theta = \arcsin i \] এই মানটি অবশ্যই অবাস্তব, কারণ \(\arcsin\) এর অবাস্তব মান হলো: \[ \arcsin i = i \ln \left(i + \sqrt{1 - i^2} \right) \] যেখানে, \[ \sqrt{1 - i^2} = \sqrt{1 - (-1)} = \sqrt{2} \] অতএব, \[ \arcsin i = i \ln \left(i + \sqrt{2} \right) \] এটি অবাস্তব মান। ### উপসংহার: - **বর্গ করলে**: সমীকরণের মানে \(\sin^2 \theta = -1\), যা অবাস্তব। - **বর্গমূল করলে**: \(\arcsin i\) এর মানও অবাস্তব। অতএব, **অবাস্তব মূল সমীকরণকে** - "সিদ্ধ করা যায় না" (প্রথম ধাপে বর্গ করলে বা বর্গমূল করলে বাস্তব সমাধান পাওয়া যায় না)। - কিন্তু, **বর্গ করলে বা বর্গমূল করলে** অবাস্তব মান পাওয়া যায়। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: ```html উত্তর: i ও ii ```