3x² -4x-k=0 সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে মূলদ্বয়ের মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে ধরি, সমীকরণটি হলো: \[ 3x^2 - 4x - k = 0 \] ধরি এর দুইটি মূল হলো \( \alpha \) ও \( \beta \)। প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ। অর্থাৎ, \[ \alpha = 2\beta \quad \text{অথবা} \quad \beta = 2\alpha \] ধরি, প্রথমটি হলো \(\alpha\), দ্বিতীয়টি হলো \(\beta = 2\alpha\)। ### ধাপ 1: মূলদ্বয়ের সম্পর্ক গাণিতিকভাবে, সমীকরণের মূলদ্বয় সম্পর্ক হলো: \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \] \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} \] এখানে, \(a=3\), \(b=-4\), \(c=-k\)। অর্থাৎ, \[ \alpha + \beta = \frac{4}{3} \] \[ \alpha \beta = -\frac{k}{3} \] ### ধাপ 2: মূলের সম্পর্ক প্রয়োগ আমরা জানি, \(\beta = 2\alpha\), তাহলে: \[ \alpha + 2\alpha = \frac{4}{3} \] \[ 3\alpha = \frac{4}{3} \] \[ \alpha = \frac{4}{9} \] অতঃ \(\beta = 2 \times \frac{4}{9} = \frac{8}{9}\) ### ধাপ 3: \(k\) এর মান নির্ণয় মূলদ্বয়ের উৎপন্নফল: \[ \alpha \beta = \frac{4}{9} \times \frac{8}{9} = \frac{32}{81} \] অর্থাৎ, \[ \alpha \beta = -\frac{k}{3} \] \[ \frac{32}{81} = -\frac{k}{3} \] \[ k = -3 \times \frac{32}{81} = -\frac{96}{81} = -\frac{32}{27} \] ### সমাধান: মূলদ্বয় হলো: \[ \boxed{\frac{4}{9} \quad \text{এবং} \quad \frac{8}{9}} \] অতএব, উত্তর: \[ \boxed{\frac{4}{9} , \quad \frac{8}{9}} \]