ABC ত্রিভুজের জন্য (b² - c²) cotA + (c² - a²) cotB + (a² - b²) cotC এর মান কত?

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের জন্য (b² - c²) cotA + (c² - a²) cotB + (a² - b²) cotC এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের জন্য,

\(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\), \(\cot B = \frac{\cos B}{\sin B}\) এবং \(\cot C = \frac{\cos C}{\sin C}\)

সাইন সূত্রানুসারে, \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k\) (ধরি)

সুতরাং, \(\sin A = \frac{a}{k}\), \(\sin B = \frac{b}{k}\) এবং \(\sin C = \frac{c}{k}\)

কোসাইন সূত্রানুসারে,

\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\), \(\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}\) এবং \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

অতএব,

\(\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{k}{a} = \frac{k(b^2 + c^2 - a^2)}{2abc}\)

\(\cot B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} \cdot \frac{k}{b} = \frac{k(c^2 + a^2 - b^2)}{2abc}\)

\(\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \cdot \frac{k}{c} = \frac{k(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটি হল:

(b² - c²) cotA + (c² - a²) cotB + (a² - b²) cotC

= (b² - c²) \(\frac{k(b^2 + c^2 - a^2)}{2abc}\) + (c² - a²) \(\frac{k(c^2 + a^2 - b^2)}{2abc}\) + (a² - b²) \(\frac{k(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc}\)

= \(\frac{k}{2abc}\) [(b² - c²)(b² + c² - a²) + (c² - a²)(c² + a² - b²) + (a² - b²)(a² + b² - c²)]

= \(\frac{k}{2abc}\) [b⁴ - a²b² - c⁴ + a²c² + c⁴ - b²c² - a⁴ + a²b² + a⁴ - a²c² - b⁴ + b²c²]

= \(\frac{k}{2abc}\) [0]

= 0

অতএব, (b² - c²) cotA + (c² - a²) cotB + (a² - b²) cotC = 0

সুতরাং, উত্তর: 0