\( \omega \) যদি এককের একটি জটিল ঘনমূল হয়, তবে \( (1-\omega+\omega^2)^2+(1+\omega-\omega^2)^2 \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে, ধরে নেওয়া যাক \( \omega \) হলো এককের একটি জটিল ঘনমূল। অর্থাৎ, \[ \omega^3 = 1 \] এবং \(\omega \neq 1\)। এটি মানে, \(\omega\) হলো বিন্যস্ত একটি মূল, যেখানে \[ \omega^3 = 1 \quad \text{এবং} \quad \omega \neq 1 \] তাহলে, \(\omega\) এর জন্য নিম্নলিখিত সমীকরণটি সত্য: \[ \omega^2 + \omega + 1 = 0 \] এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ (1 - \omega + \omega^2)^2 + (1 + \omega - \omega^2)^2 \] চলুন প্রথমে, \(A = 1 - \omega + \omega^2\) এবং \(B = 1 + \omega - \omega^2\) ধরে নিই। প্রথমে, \(A\) এবং \(B\) এর মান নির্ণয় করি। \[ A = 1 - \omega + \omega^2 \] \[ B = 1 + \omega - \omega^2 \] এখন, \(A^2 + B^2\) হিসাব করি। প্রথমে, \(A^2\): \[ A^2 = (1 - \omega + \omega^2)^2 \] বিবর্তন করি: \[ A^2 = 1^2 + (-\omega)^2 + (\omega^2)^2 + 2 \times 1 \times (-\omega) + 2 \times 1 \times \omega^2 + 2 \times (-\omega) \times \omega^2 \] \[ = 1 + \omega^2 + \omega^4 - 2\omega + 2\omega^2 - 2\omega^3 \] এখন, \(\omega^3 = 1\) থেকে: \[ A^2 = 1 + \omega^2 + \omega^4 - 2\omega + 2\omega^2 - 2 \times 1 \] \[ = (1 - 2) + (\omega^2 + 2\omega^2) + \omega^4 - 2\omega \] \[ = -1 + 3\omega^2 + \omega^4 - 2\omega \] Note যে, \(\omega^4 = \omega^{3+1} = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega\) সুতরাং: \[ A^2 = -1 + 3\omega^2 + \omega - 2\omega \] \[ = -1 + 3\omega^2 - \omega \] এবার, \(B^2\): \[ B^2 = (1 + \omega - \omega^2)^2 \] বিবর্তন করি: \[ B^2 = 1^2 + (\omega)^2 + (-\omega^2)^2 + 2 \times 1 \times \omega + 2 \times 1 \times (-\omega^2) + 2 \times \omega \times (-\omega^2) \] \[ = 1 + \omega^2 + \omega^4 + 2\omega - 2\omega^2 - 2\omega^3 \] আবার, \(\omega^4 = \omega\) এবং \(\omega^3=1\): \[ B^2= 1 + \omega^2 + \omega + 2\omega - 2\omega^2 - 2 \times 1 \] \[ = (1 - 2) + (\omega^2 - 2\omega^2) + (\omega + 2\omega) \] \[ = -1 - \omega^2 + 3\omega \] অতএব, মোট মান: \[ A^2 + B^2 = (-1 + 3\omega^2 - \omega) + (-1 - \omega^2 + 3\omega) \] \[ = (-1 - 1) + (3\omega^2 - \omega^2) + (-\omega + 3\omega) \] \[ = -2 + 2\omega^2 + 2\omega \] এখন, মনে রাখি যে, \(\omega\) এর জন্য: \[ \omega^2 + \omega + 1 = 0 \] অর্থাৎ, \[ \omega^2 + \omega = -1 \] অতএব: \[ 2\omega^2 + 2\omega = 2(\omega^2 + \omega) = 2 \times (-1) = -2 \] সুতরাং, \[ A^2 + B^2 = -2 + (-2) = -4 \] **উত্তর: \(-4\)** **অতএব,**

সমাধান:

প্রথমে, ধরে নিই যে, \(\omega\) হলো এককের একটি জটিল ঘনমূল, অর্থাৎ, \(\omega^3 = 1\) এবং \(\omega \neq 1\).

তাহলে, \(\omega\) এর জন্য: \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\).

আমরা লক্ষ্য করি:

\(S = (1 - \omega + \omega^2)^2 + (1 + \omega - \omega^2)^2\)

এখন, সেটি আপনি \(A\) এবং \(B\) হিসেবে লিখতে পারেন:

\(A = 1 - \omega + \omega^2\)
\(B = 1 + \omega - \omega^2\)

এবং, \(A^2 + B^2\) হিসাব করলে, আমরা পাই:

\(A^2 = -1 + 3\omega^2 - \omega\)
\(B^2 = -1 - \omega^2 + 3\omega\)

সুতরাং, মোট মান:

\(A^2 + B^2 = -2 + 2\omega^2 + 2\omega\)

এবং, জানি যে, \(\omega^2 + \omega = -1\), সুতরাং:

\(2(\omega^2 + \omega) = -2\)

অতএব,

\(A^2 + B^2 = -2 + (-2) = -4\)

অতএব, উত্তর হল: -4.