যদিint(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x) dx=f(x)+c যেখানে একটি ধ্রুবক তবে
f(x)=?
ln(e^x+e^-x)
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেয়া হয়েছে:
\( \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\, dx = f(x) + c \)
এখানে, আমরা প্রথমে ভেতরের ফাংশনটি সহজ করব:
\( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \)
উপরে ও নিচে \( e^x \) দ্বারা ভাগ করলে:
\( \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} \)
অথবা, সেটি লিখে নেওয়া যাক:
\( \frac{1 - u}{1 + u} \), যেখানে \( u = e^{-2x} \)
তাহলে, ডেরিভেটিভের জন্য, চলুন \( u = e^{-2x} \) এর উপর ভিত্তি করে পরিবর্তন করি।
প্রথমে, \( u = e^{-2x} \), তাই:
\( du/dx = -2 e^{-2x} = -2u \)
অর্থাৎ,
\( dx = - \frac{du}{2u} \)
এখন, ইন্টিগ্রালটি লিখি:
\( \int \frac{1 - u}{1 + u} dx \)
এটি পরিবর্তন করি \( u \) এর জন্য:
\( \int \frac{1 - u}{1 + u} \times - \frac{1}{2u} du \)
অর্থাৎ:
\( -\frac{1}{2} \int \frac{1 - u}{u (1 + u)} du \)
এখন, ভগ্নাংশটি বিভক্ত করি:
\( \frac{1 - u}{u (1 + u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1 + u} \)
অর্থাৎ:
\( 1 - u = A (1 + u) + B u \)
সমাধানে,:
\( 1 - u = A + A u + B u \)
শর্ত অনুযায়ী,:
\( 1 = A \)
এবং,
\( -u = A u + B u = u (A + B) \)
সুতরাং,:
\( -1 = A + B \)
অতএব,:
\( A = 1 \), এবং \( B = -1 - A = -1 - 1 = -2 \)
এখন, ভগ্নাংশ পুনঃলিখন করি:
\( \frac{1 - u}{u (1 + u)} = \frac{1}{u} - \frac{2}{1 + u} \)
তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:
\( - \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{u} - \frac{2}{1 + u} \right) du \)
এখন, পৃথক পৃথক ইন্টিগ্রাল করি:
\( - \frac{1}{2} \left( \int \frac{1}{u} du - 2 \int \frac{1}{1 + u} du \right) \)
অর্থাৎ:
\( - \frac{1}{2} \left( \ln |u| - 2 \ln |1 + u| \right) + C \)
উপরে \( u = e^{-2x} \), তাই:
\( - \frac{1}{2} \left( \ln |e^{-2x}| - 2 \ln |1 + e^{-2x}| \right) + C \)
এখানে,:
\( \ln |e^{-2x}| = -2x \)
অতএব, সমাধান হবে:
\( - \frac{1}{2} ( -2x - 2 \ln |1 + e^{-2x}| ) + C \)
সরলীকরণ করি:
\( - \frac{1}{2} ( -2x ) - \frac{1}{2} ( 2 \ln |1 + e^{-2x}| ) + C \)
\( x - \ln |1 + e^{-2x}| + C \)
এখানে, লক্ষ্য করুন,:
\( 1 + e^{-2x} \) এর জন্য, আমরা ইঙ্গিত করছি \( e^x + e^{-x} \) এর মধ্যে সম্পর্ক।
সুতরাং, সমাধানটি লিখি:
f(x) = \ln (e^x + e^{-x})