int_0^(pi/2)sin^5thetacosd theta=?

দেওয়া আছে, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^5{\theta} \cos{\theta} \, d\theta \)

ধরি, \( \sin{\theta} = u \)

তাহলে, \( \cos{\theta} \, d\theta = du \)

যখন \( \theta = 0 \), তখন \( u = \sin{0} = 0 \)

যখন \( \theta = \pi/2 \), তখন \( u = \sin{(\pi/2)} = 1 \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\( \int_{0}^{1} u^5 \, du \)

এখন, \( u^5 \) এর ইন্টিগ্রেশন হবে:

\( \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C \)

অতএব, নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{0}^{1} u^5 \, du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1} \)

মান বসিয়ে পাই,

\( \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6} \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^5{\theta} \cos{\theta} \, d\theta = \frac{1}{6} \) 🎉