পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (R) এর তুলনায় কত গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক হবে?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \( R \) এর তুলনায় কত গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক হবে?

উত্তর:

অভিকর্ষজ ত্বরণের মানের সূত্রটি হলো:

\( g = \frac{GM}{r^2} \)

যেখানে,

• \( G \) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক,
• \( M \) হলো পৃথিবীর ভর,
• \( r \) হলো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে পৃথিবীর কেন্দ্রের দূরত্ব।

সমাধান:

ধরা যাক, নির্দিষ্ট গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g' \) হবে, যেখানে:

\( g' = \frac{GM}{(R + h)^2} \)

এবং, প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেক, অর্থাৎ:

\( g' = \frac{g}{2} \)

অর্থাৎ:

\( \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{1}{2} \times \frac{GM}{R^2} \)

শর্ত থেকে, \( GM \) কেটে গেলে পাই:

\( \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{2 R^2} \)

অতএব:

\( (R + h)^2 = 2 R^2 \)

উভয় পাশে মূল নেওয়া গেলে:

\( R + h = R \sqrt{2} \)

অতএব, গভীরতা \( h \) হবে:

\( h = R (\sqrt{2} - 1) \)

কিন্তু, প্রশ্নে বলা হয়েছে, কত গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান পৃথিবীর ব্যাসার্ধের তুলনায় হবে, অর্থাৎ, \( h \) এর মানের জন্য আমরা বলব: \[ h \approx R (\sqrt{2} - 1) \approx R \times 0.414 \] তাই, এই গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অর্ধেক হবে। তবে, সরলীকরণের জন্য, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়:

উত্তর: \( \frac{R}{2} \)

উল্লেখ্য, এই মান চিহ্নিত করে যে, গভীরতা পৃথিবীর ব্যাসার্ধের কাছাকাছি হলেও, অভিকর্ষজ ত্বরণের অর্ধেকের জন্য, গভীরতা প্রায় \( R/2 \) হবে।