vecA=hati-hatj+hatk এবং  vecB=3hati-2hatj+3hatk দুটি ভেক্টর হলে—

1.  vecA ভেক্টরের মান √3
2.  vecA ভেক্টরের উপর  vecB ভেক্টরের অভিক্ষেপ 8/√3
3. ভেক্টর দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ cos^-1(8/√66)

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রথমে ভেক্টরগুলো দেওয়া হলো: \[ \vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \] \[ \vec{B} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \] ### (i) \(\vec{A}\) ভেক্টরের মান \(\sqrt{3}\) কি সঠিক? ভেক্টর \(\vec{A}\) এর মান (ম্যাগনিটিউড) হবে: \[ |\vec{A}| = \sqrt{(\text{প্রথম উপাদান})^2 + (\text{দ্বিতীয় উপাদান})^2 + (\text{তৃতীয় উপাদান})^2} \] \[ |\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] অতএব, **প্রথমটি সঠিক।** --- ### (ii) \(\vec{A}\) ভেক্টরের উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ \( \frac{8}{\sqrt{3}} \) কি সঠিক? ভেক্টর \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ (Projection) হবে: \[ \text{প্রক্ষেপ} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} \] প্রথমে \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) হিসাব করি: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(3) + (-1)(-2) + (1)(3) = 3 + 2 + 3 = 8 \] এবং \(|\vec{A}| = \sqrt{3}\) (আগে হিসাব করা হয়েছে)। অতএব, \[ \text{অভিক্ষেপ} = \frac{8}{|\vec{A}|} = \frac{8}{\sqrt{3}} \] **এটি সঠিক।** --- ### (iii) দুটির মধ্যে কোণের \(\cos^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)\) দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণের কসমিনাস হবে: \[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \] অগোচরে \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 8\) (পূর্বে হিসাব করা হয়েছে)। এখন, \(|\vec{B}|\) হিসাব করি: \[ |\vec{B}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \] তাহলে, \[ \cos \theta = \frac{8}{\sqrt{3} \times \sqrt{22}} = \frac{8}{\sqrt{66}} \] অতএব, \[ \theta = \cos^{-1}\left( \frac{8}{\sqrt{66}} \right) \] **এটি সঠিক।** --- ## **উত্তর:** **i, ii ও iii** সবই সঠিক।