Find the vector equation of the line that pass through the points A(3,4,1) and B(2,-3,5) crosses xy plane.

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

নির্ণয়: \(A(3,4,1)\) এবং \(B(2,-3,5)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ এবং \(xy\) তলকে ছেদবিন্দু

1. সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয়:

ধরি, \( \vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k} \) তাহলে, \(A\) এবং \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে: \[ \vec{r} = \vec{a} + \lambda (\vec{b} - \vec{a}) \] এখানে, \( \lambda \) একটি স্কেলার। \[ \vec{r} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + \lambda [(2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k})] \] \[ \vec{r} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + \lambda (-\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}) \] \[ \vec{r} = (3 - \lambda)\hat{i} + (4 - 7\lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k} \]

2. \(xy\) তলে ছেদবিন্দু নির্ণয়:

\(xy\) তলে \(z = 0\) হয়। সুতরাং, ছেদবিন্দুতে \(z\) এর মান 0 হবে। \[ 1 + 4\lambda = 0 \] \[ \lambda = -\frac{1}{4} \] এখন, \(\lambda\) এর মান ভেক্টর সমীকরণে বসিয়ে পাই: \[ \vec{r} = \left(3 - \left(-\frac{1}{4}\right)\right)\hat{i} + \left(4 - 7\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\hat{j} + (1 + 4(-\frac{1}{4}))\hat{k} \] \[ \vec{r} = \left(3 + \frac{1}{4}\right)\hat{i} + \left(4 + \frac{7}{4}\right)\hat{j} + (1 - 1)\hat{k} \] \[ \vec{r} = \frac{13}{4}\hat{i} + \frac{23}{4}\hat{j} + 0\hat{k} \] সুতরাং, ছেদবিন্দুটির ভেক্টর হবে: \[ \vec{r} = \frac{13}{4}\hat{i} + \frac{23}{4}\hat{j} \] ফাইনাল আনসার টি ভুল আছে। 🤔সঠিক উত্তর টি হল : \( \vec{r} = \frac{13}{4}\hat{i} + \frac{23}{4}\hat{j} \) 🥳 ```