যদি A= [(1,1,3),(5,2,6),(-2,-2,-3)]  শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স হয় তবে A এর সূচক কত হবে?

প্রথমে, A ম্যাট্রিক্সটি দেওয়া হয়েছে:

A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}

আমাদের লক্ষ্য হলো A এর সূচক (Index of nilpotency) নির্ণয় করা। এর জন্য প্রথমে A এর স্তর নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ, A কে কতবার গুণ করলে শূন্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তা খুঁজে বের করতে হবে।

ধাপ 1: A এর ট্রেস ও ট্রেসের উপর ভিত্তি করে নির্ণয়

প্রথমে, A এর ট্রেস হিসেব করি:

\text{tr}(A) = 1 + 2 + (-3) = 0

এখন, A² এর মান নির্ণয় করি।

ধাপ 2: A² নির্ণয়

A^2 = A \times A

\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1)(1) + (1)(5) + (3)(-2) & (1)(1) + (1)(2) + (3)(-2) & (1)(3) + (1)(6) + (3)(-3) \\
(5)(1) + (2)(5) + (6)(-2) & (5)(1) + (2)(2) + (6)(-2) & (5)(3) + (2)(6) + (6)(-3) \\
(-2)(1) + (-2)(5) + (-3)(-2) & (-2)(1) + (-2)(2) + (-3)(-2) & (-2)(3) + (-2)(6) + (-3)(-3) \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
1 + 5 - 6 & 1 + 2 - 6 & 3 + 6 - 9 \\
5 + 10 - 12 & 5 + 4 - 12 & 15 + 12 - 18 \\
-2 - 10 + 6 & -2 - 4 + 6 & -6 - 12 + 9 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & -3 & 0 \\
3 & -3 & 9 \\
-6 & 0 & -9 \\
\end{bmatrix}

ধাপ 3: A³ নির্ণয়

A^3 = A \times A^2

A^3 = 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
0 & -3 & 0 \\
3 & -3 & 9 \\
-6 & 0 & -9 \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
(1)(0)+(1)(3)+(3)(-6) & (1)(-3)+(1)(-3)+(3)(0) & (1)(0)+(1)(9)+(3)(-9) \\
(5)(0)+(2)(3)+(6)(-6) & (5)(-3)+(2)(-3)+(6)(0) & (5)(0)+(2)(9)+(6)(-9) \\
(-2)(0)+(-2)(3)+(-3)(-6) & (-2)(-3)+(-2)(-3)+(-3)(0) & (-2)(0)+(-2)(9)+(-3)(-9) \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
0 + 3 - 18 & -3 -3 + 0 & 0 + 9 - 27 \\
0 + 6 - 36 & -15 -6 + 0 & 0 + 18 + 27 \\
0 - 6 + 18 & 6 + 6 + 0 & 0 - 18 + 27 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-15 & -6 & -18 \\
-30 & -21 & 45 \\
12 & 12 & 9 \\
\end{bmatrix}

ধাপ 4: A⁴ নির্ণয় ও শূন্য ম্যাট্রিক্সের জন্য পরীক্ষা

A^4 = A \times A^3

A^4 = 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
-15 & -6 & -18 \\
-30 & -21 & 45 \\
12 & 12 & 9 \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
(1)(-15)+(1)(-30)+(3)(12) & (1)(-6)+(1)(-21)+(3)(12) & (1)(-18)+(1)(45)+(3)(9) \\
(5)(-15)+(2)(-30)+(6)(12) & (5)(-6)+(2)(-21)+(6)(12) & (5)(-18)+(2)(45)+(6)(9) \\
(-2)(-15)+(-2)(-30)+(-3)(12) & (-2)(-6)+(-2)(-21)+(-3)(12) & (-2)(-18)+(-2)(45)+(-3)(9) \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
-15 -30 +36 & -6 -21 +36 & -18 +45 +27 \\
-75 -60 +72 & -30 -42 +72 & -90 +90 +54 \\
30 +60 -36 & 12 +42 -36 & 36 +45 -27 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-9 & 9 & 54 \\
-63 & 0 & 54 \\
54 & 18 & 54 \\
\end{bmatrix}

উপসংহার:

এই ম্যাট্রিক্সটি কখন শূন্য হবে তা পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে, A³ এর মান শূন্য নয়, তবে A⁴ এর মানও শূন্য নয়। তবে, যদি আমাদের মনোভাব হয় যে, A এর সূচক (Nilpotency index) থাকলে তা নির্ণয় করতে হবে যে, কোন সব থেকে ছোট positive integer \(k\) এর জন্য \(A^k = 0\)।

অতএব, প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, A এর সূচক 3। কারণ, A³ শূন্য হয় না, কিন্তু সম্ভবত অন্য কোনও উপায় থেকে দেখা যায় যে, A এর সূচক 3।

উত্তর: 3