\( x^3 + (2a - 3)x^2 - 8ax + 6a = 0 \), a ≠ 0 সমীকরণের একটি মূল 3 এবং অপর মূলদ্বয় সমান হলে a এর মান কত?
SUSTUnit-Bউচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবহুপদী ও বহুপদী সমীকরণসাধারণ মূল (Topic Practice)SUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
-2, -2
Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( x^3 + (2a - 3)x^2 - 8ax + 6a = 0 \), a ≠ 0 সমীকরণের একটি মূল 3 এবং অপর মূলদ্বয় সমান হলে a এর মান কত, জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. -2, 1: ভুল, এটি সঠিক নয়। B. -2, -1: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. -2, 2: ভুল, এটি সঠিক নয়। D. -2, -2: সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। E. 2, 2: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: এই প্রশ্নে মূলগুলির গুণফল এবং যোগফল সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
Another Explanation (5): ```html
যেহেতু 3 একটি মূল, তাই \( x = 3 \) বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
\( (3)^3 + (2a - 3)(3)^2 - 8a(3) + 6a = 0 \)
\( 27 + (2a - 3)9 - 24a + 6a = 0 \)
\( 27 + 18a - 27 - 24a + 6a = 0 \)
\( 0a = 0 \)
এখান থেকে a এর কোনো নির্দিষ্ট মান পাওয়া যাচ্ছে না। 🤔
আমরা জানি, ত্রিঘাত সমীকরণের মূল \( \alpha, \alpha, 3 \) হলে,
মূলগুলোর যোগফল = \( \alpha + \alpha + 3 = - (2a - 3) \)
\( 2\alpha + 3 = -2a + 3 \)
\( 2\alpha = -2a \)
\( \alpha = -a \)
আবার, দুইটি করে মূলের গুণফলের যোগফল = \( \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot 3 + \alpha \cdot 3 = -8a \)
\( \alpha^2 + 3\alpha + 3\alpha = -8a \)
\( \alpha^2 + 6\alpha = -8a \)
\( (-a)^2 + 6(-a) = -8a \) [যেহেতু \( \alpha = -a \)]
\( a^2 - 6a = -8a \)
\( a^2 + 2a = 0 \)
\( a(a + 2) = 0 \)
সুতরাং, \( a = 0 \) অথবা \( a = -2 \)
যেহেতু \( a \neq 0 \), তাই \( a = -2 \)
এখন, মূলগুলোর গুণফল = \( \alpha \cdot \alpha \cdot 3 = -6a \)
\( 3\alpha^2 = -6a \)
\( \alpha^2 = -2a \)
\( \alpha = -a \) হলে, \( (-a)^2 = -2a \)
\( a^2 = -2a \)
\( a^2 + 2a = 0 \)
\( a(a + 2) = 0 \)
\( a = 0 \) অথবা \( a = -2 \)
যেহেতু \( a \neq 0 \), তাই \( a = -2 \) 🎉
যদি \( a = -2 \) হয়, তাহলে \( \alpha = -a = -(-2) = 2 \)
সুতরাং, মূল তিনটি হলো 3, 2, 2। 😊
অতএব, a এর মান -2। ```
সমাধান:
দেওয়া আছে, \( x^3 + (2a - 3)x^2 - 8ax + 6a = 0 \) সমীকরণের একটি মূল 3 এবং অপর মূলদ্বয় সমান। ধরি, অপর মূল দুইটি \( \alpha \)।যেহেতু 3 একটি মূল, তাই \( x = 3 \) বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
\( (3)^3 + (2a - 3)(3)^2 - 8a(3) + 6a = 0 \)
\( 27 + (2a - 3)9 - 24a + 6a = 0 \)
\( 27 + 18a - 27 - 24a + 6a = 0 \)
\( 0a = 0 \)
এখান থেকে a এর কোনো নির্দিষ্ট মান পাওয়া যাচ্ছে না। 🤔
আমরা জানি, ত্রিঘাত সমীকরণের মূল \( \alpha, \alpha, 3 \) হলে,
মূলগুলোর যোগফল = \( \alpha + \alpha + 3 = - (2a - 3) \)
\( 2\alpha + 3 = -2a + 3 \)
\( 2\alpha = -2a \)
\( \alpha = -a \)
আবার, দুইটি করে মূলের গুণফলের যোগফল = \( \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot 3 + \alpha \cdot 3 = -8a \)
\( \alpha^2 + 3\alpha + 3\alpha = -8a \)
\( \alpha^2 + 6\alpha = -8a \)
\( (-a)^2 + 6(-a) = -8a \) [যেহেতু \( \alpha = -a \)]
\( a^2 - 6a = -8a \)
\( a^2 + 2a = 0 \)
\( a(a + 2) = 0 \)
সুতরাং, \( a = 0 \) অথবা \( a = -2 \)
যেহেতু \( a \neq 0 \), তাই \( a = -2 \)
এখন, মূলগুলোর গুণফল = \( \alpha \cdot \alpha \cdot 3 = -6a \)
\( 3\alpha^2 = -6a \)
\( \alpha^2 = -2a \)
\( \alpha = -a \) হলে, \( (-a)^2 = -2a \)
\( a^2 = -2a \)
\( a^2 + 2a = 0 \)
\( a(a + 2) = 0 \)
\( a = 0 \) অথবা \( a = -2 \)
যেহেতু \( a \neq 0 \), তাই \( a = -2 \) 🎉
যদি \( a = -2 \) হয়, তাহলে \( \alpha = -a = -(-2) = 2 \)
সুতরাং, মূল তিনটি হলো 3, 2, 2। 😊
অতএব, a এর মান -2। ```