Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, দুটি স???ীকরণ রয়েছে:
\[
x^2 - bx + c = 0 \quad \text{(1)}
\]
এবং
\[
x^2 - cx + b = 0 \quad \text{(2)}
\]
এগুলোর একটি সাধারণ মূল থাকলে, ধরা যাক সেই সাধারণ মূল হলো \( \alpha \)। তাহলে, এই মূল দুটির জন্য উভয় সমীকরণই সত্য হবে। অর্থাৎ,
\[
\alpha \text{ সমাধান হয় প্রাথমিক সমীকরণ ও দ্বিতীয় সমীকরণ উভয়ের জন্য।}
\]
অর্থাৎ,
\[
\alpha \text{ সমাধান হয় } (1) \Rightarrow \alpha^2 - b \alpha + c = 0 \quad \text{(3)}
\]
এবং
\[
\alpha \text{ সমাধান হয় } (2) \Rightarrow \alpha^2 - c \alpha + b = 0 \quad \text{(4)}
\]
উভয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই,
\[
\alpha^2 = b \alpha - c \quad \text{(5)}
\]
এবং
\[
\alpha^2 = c \alpha - b \quad \text{(6)}
\]
অতএব, (5) ও (6) থেকে,
\[
b \alpha - c = c \alpha - b
\]
এখানে, সমাধান করি:
\[
b \alpha - c = c \alpha - b
\]
\[
b \alpha - c \alpha = -b + c
\]
\[
\alpha (b - c) = c - b
\]
\[
\alpha (b - c) = - (b - c)
\]
অতএব, যদি \(b \neq c\), তবে:
\[
\alpha = -1
\]
এখন, যদি \(b = c\), তাহলে উপরের সমীকরণে দেখা যাচ্ছে যে, এর জন্য আলাদা সমাধান প্রয়োজন হবে। তবে, মূলত এখানে আমরা দেখছি, যেহেতু মূলটি সাধারণ, তখন দুটো সমীকরণের মূলের মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে।
এখন, ধরুন, মূলটি \(\alpha = -1\)। তাহলে, (3) থেকে:
\[
(-1)^2 - b(-1) + c = 0
\]
\[
1 + b + c = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
b + c + 1 = 0
\]
অতএব, **একটি সাধারণ মূল থাকার জন্য প্রয়োজন**:
\[
\boxed{b + c + 1 = 0}
\]
**নোট:** যদি \(b = c\), তবে প্রথম সমীকরণে,
\[
x^2 - bx + c = 0
\]
এবং দ্বিতীয় সমীকরণে,
\[
x^2 - c x + b = 0
\]
যেহেতু \(b = c\), তাহলে সমীকরণ দুইটি এক হয়ে যাবে, ফলে সাধারণ মূল থাকবেই।
সু??রাং, **সাধারণ মূলের শর্ত হল**:
\[
\boxed{b + c + 1 = 0}
\]
