(-3,-4) ও (6, 2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশটিকে y অক্ষ রেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা হলো-
সঠিক উত্তরঃ
B.
1:2
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \((-3, -4)\) ও \((6, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশটি \(y\) অক্ষ রেখা (অর্থাৎ, \(x=0\)) কে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, তা নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরা যাক, রেখাংশের মধ্যবিন্দু \(M\) হলো, যা \(x=0\) রেখাকে বিভক্ত করে। অর্থাৎ, \(M\) এর স্থানাঙ্ক হবে \((0, y_m)\)।
প্রথমে, দুটির মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি:
\[
x_m = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2} = 1.5
\]
\[
y_m = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]
অর্থাৎ, মধ্যবিন্দু \(M(1.5, -1)\)।
তবে, এই বিন্দু রেখাংশের মধ্যবিন্দু নয়, বরং \(x=0\) রেখার উপর অবস্থান করে এমন একটি বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে, যা রেখাংশের দিক থেকে \(x=0\) এর জন্য অনুপাত নির্ণয় করতে সাহায্য করবে।
অন্যভাবে, রেখাংশের দুই বিন্দু \(A(-3, -4)\) ও \(B(6, 2)\) এর মধ্যে \(x=0\) এর জন্য যে বিন্দু উপস্থিত, সেটি নির্ণয় করি।
রেখাংশের সমীকরণ:
\[
\text{প্রথম, slope } m = \frac{2 - (-4)}{6 - (-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]
রেখার সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
যেখানে, \((x_1, y_1) = (-3, -4)\),
\[
y - (-4) = \frac{2}{3}(x - (-3))
\]
\[
y + 4 = \frac{2}{3}(x + 3)
\]
\[
y = \frac{2}{3}x + 2 - 4
\]
\[
y = \frac{2}{3}x - 2
\]
এখন, \(x=0\) এর জন্য,
\[
y = \frac{2}{3} \times 0 - 2 = -2
\]
অর্থাৎ, রেখাংশটি \(x=0\) রেখার উপর বিন্দু \((0, -2)\) এ অন্তর্বিভক্ত করে।
এখন, \(A(-3, -4)\) থেকে \( (0, -2) \) এর মধ্যে দূরত্ব:
\[
d_1 = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
\]
এবং, \((0, -2)\) থেকে \(B(6, 2)\) এর মধ্যে দূরত্ব:
\[
d_2 = \sqrt{(6 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}
\]
অতএব, রেখাংশটি \(A\) থেকে \((0, -2)\) এর মধ্যে অনুপাত:
\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{52}} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{1}{2}
\]
সুতরাং, রেখাংশটি \(A\) থেকে \( (0, -2) \) অব্দি অনুপাত \(1:2\) এবং \( (0, -2) \) থেকে \(B\) অব্দি অনুপাত \(2:1\)।
উত্তর: **01:02:00**