(5,2) ও (-4,3) বিন্দুর সংযোগ রেখাকে y-অক্ষ কত অনুপাতে অন্তঃর্বিভক্ত করে? 

Explanation:

Another Explanation (5): ধরি, \(y\)-অক্ষ \(AB\) রেখাংশকে \(m_1:m_2\) অনুপাতে অন্তঃর্বিভক্ত করে। এখানে, \(A(5, 2)\) এবং \(B(-4, 3)\)। \(y\)-অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক 0 হয়। সুতরাং, \(y\)-অক্ষ \(AB\) রেখাংশকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার \(x\) স্থানাঙ্ক 0। আমরা জানি, \(A(x_1, y_1)\) ও \(B(x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(m_1:m_2\) অনুপাতে অন্তঃর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)\)। অতএব, \(AB\) রেখাংশের উপর অবস্থিত \(y\)-অক্ষের ছেদবিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক হবে: \[ \frac{m_1(-4) + m_2(5)}{m_1 + m_2} = 0 \] \[ -4m_1 + 5m_2 = 0 \] \[ 4m_1 = 5m_2 \] \[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{4} \] সুতরাং, নির্ণেয় অনুপাত \(5:4\)। 🎉🥳