একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 1:2:3 হলে বাহুগুলোর অনুপাত হচ্ছে-

প্রশ্ন:

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 1:2:3 হলে বাহুগুলোর অনুপাত হচ্ছে-

উত্তর:

প্রথমে ধরা যাক, কোণগুলো যথাক্রমে \(A, B, C\)।

কোণগুলোর অনুপাত অনুযায়ী:

• \(A : B : C = 1 : 2 : 3\)

এখন, কোণগুলোর যোগফল ১৮০°। তাই:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

অর্থাৎ:

\[ k(1 + 2 + 3) = 180^\circ \Rightarrow 6k = 180^\circ \Rightarrow k = 30^\circ \]

অতএব, কোণগুলো হচ্ছে:

• \(A = 30^\circ\)
• \(B = 60^\circ\)
• \(C = 90^\circ\)

এখন, কোণগুলোর মান জানা থাকায়, বাহুগুলোর অনুপাত নির্ণয় করব। ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোণের বিপরীতে থাকা বাহুগোর অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত।

যে ত্রিভুজের কোণগুলো \(A, B, C\) তদনুসারে, বাহুগুলো হচ্ছে যথাক্রমে:

• \(a\) বিপরীত কোণ \(A\) এর
• \(b\) বিপরীত কোণ \(B\) এর
• \(c\) বিপরীত কোণ \(C\) এর

প্রখ্যাত সূত্র অনুসারে:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] এবং, প্রথমে ধরা যাক, এই সমানুপাতের মান \(k\):

\[ a = k \sin A, \quad b = k \sin B, \quad c = k \sin C \]

তাই, বাহুগুলোর অনুপাত হবে:

\[ a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C \]

এখন, কোণ মানগুলো অনুসারে সাইন মানগুলো হিসাব করব:

• \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
• \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\sin 90^\circ = 1\)

অতএব, বাহুগুলোর অনুপাত হচ্ছে:

\[ a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 \]

এখানে সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল হিসেবে ২ দিয়ে ভাগ করলে পাই:

\[ a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 \]

তাই, বাহুগুলোর অনুপাত হচ্ছে:

√3 : 2 : 1