(-3,-4) ও (6,2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখাটিকে y অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, তা হলো—

1:2

3:1

2:1

3:2

উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসরলরেখাঅন্তর্বিভক্তকরণ ও বহির্বিভক্তকরণ সূত্র (Topic Practice)

সঠিক উত্তরঃ A.

1:2

Another Explanation (5):

সমাধান:

দ্বৈত বিন্দু হলো \(A(-3, -4)\) এবং \(B(6, 2)\)।

প্রথমে, দুই বিন্দুর মধ্যে সংযোগরেখার আঁকো।

সংযোগরেখার ধ্রুবক পার্থক্য:

প্রস্তাবিত রেখার ধ্রুবক পার্থক্য \(\Delta y : \Delta x\)
\(\Delta y = 2 - (-4) = 6\)
\(\Delta x = 6 - (-3) = 9\)

অর্থাৎ, রেখার ধ্রুবক অনুপাত হলো:

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

দ্বিতীয়ত, রেখাটির ধ্রুবক অনুপাতের জন্য ধরা যাক, রেখাটির বিভাজকের অনুপাত \(k\)।

ধরা যাক, রেখাটি y অক্ষরেখা \(x=0\) কে যে অনুপাত \(k : 1 - k\) দ্বারা বিভক্ত করে।

অর্থাৎ, বিন্দু \(P\) হল সেই বিন্দু যেখানে রেখাটি y অক্ষরেখাকে বিভক্ত করে।

তাহলে, বিন্দু \(P\) এর সমন্বয় হবে:

\[ P = (0, y_p) \]

এখন, ধরা যাক রেখার মধ্যে বিন্দু \(A\) থেকে \(P\) এর দূরত্ব হলো \(k\) ভাগ এবং \(P\) থেকে \(B\) এর দূরত্ব হলো \(1 - k\) ভাগ।

তাহলে, রেখার বিভাজকের সমন্বয় সূত্র অনুযায়ী:

\[ x_P = \frac{k \times x_B + (1 - k) \times x_A}{k + (1 - k)} = \frac{k \times 6 + (1 - k) \times (-3)}{1} \] অর্থাৎ, \[ 0 = 6k - 3(1 - k) = 6k - 3 + 3k = 9k - 3 \] এখান থেকে, \[ 9k = 3 \Rightarrow k = \frac{1}{3} \]

অর্থাৎ, রেখাটি y অক্ষরেখা \(x=0\) কে \(\frac{1}{3} : \frac{2}{3}\) অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখন, যেহেতু, দ্বৈত বিন্দুর মধ্যে রেখার বিভাজকের অনুপাত হলো \(\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = 1 : 2\)।

উপসংহার:

অর্থাৎ, রেখাটি y অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা হলো: 01:02:00