\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = ? \)

প্রশ্ন:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = ? \)

উত্তর:
1

সমাধান:

আমরা প্রথমে লক্ষ্য করবো যে, এই লিমিটটি \( x \to 0 \) এর সময়ের জন্য। এর জন্য, আমরা টেইলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারি বা সরাসরি ডিফারেনশিয়াল রুল প্রয়োগ করতে পারি।

প্রথমে, \( e^x \) এর টেইলর সিরিজ:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

এবং, \( e^{-x} \) এর টেইলর সিরিজ:

e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots

এখন, যোগফল:

e^x + e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots) + (1 - x + \frac{x^2}{2} + \dots) = 2 + x - x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \dots

= 2 + 0 + x^2 + \dots

অতএব, সূত্রে:

e^x + e^{-x} - 2 = x^2 + \text{অপ্রয়োজনীয় ছোট অংকসমূহ}

তাহলে, লিমিটটি হবে:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \text{অপ্রয়োজনীয় ছোট অংকসমূহ}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{\text{অপ্রয়োজনীয় ছোট অংকসমূহ}}{x^2}\right)

এখানে, অপ্রয়োজনীয় ছোট অংকসমূহ \( o(x^2) \) এর মতো, যা যখন \( x \to 0 \), তখন শূন্যের দিকে যায়। সুতরাং,

\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = 1

অতএব, উত্তর হলো 1.